bases matrices

[invite9985ead2]

Bonjour,
Dans un exercice, j'ai deux problèmes, pouvez-vous m'aider ??

D'abord, j'ai un ensemble de matrices du type (le 0 est un zéro, pas un o)

(a,b,c
d,0,e
f,g,h)

On me demande d'en trouver une base, j'ai donné la base canonique de M3(K). Puis on me demande la dimension, 9.

Problème : j'ai montré que cet ensemble est supplémentaire d'un autre ensemble de dim1.
Donc a priori, l'espace vectoriel résultant est de dim 10 ! Or c'est un sev de M3(K) de dim 9 !! Je ne vois pas où est l'erreur ??

Autre problème,
comment montrer que si B (resp C) tq AX=B(respC) a au moins une solution, AX=bB+cC a au moins une solution ??

Merci pour votre aide !
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[taladris]

Salut!

Bonjour,
Dans un exercice, j'ai deux problèmes, pouvez-vous m'aider ??

D'abord, j'ai un ensemble de matrices du type (le 0 est un zéro, pas un o)

(a,b,c
d,0,e
f,g,h)

On me demande d'en trouver une base, j'ai donné la base canonique de M3(K). Puis on me demande la dimension, 9.

L'erreur est ici. Ton ensemble est un sev (que j'appelerai E) de dimension 8 (il te faut 8 et seulement paramètres pour décrire une matrice de ton sev). Maintenant, pour trouver une base de E, je dirais que tu as presque la bonne réponse.

Problème : j'ai montré que cet ensemble est supplémentaire d'un autre ensemble de dim1.
Donc a priori, l'espace vectoriel résultant est de dim 10 ! Or c'est un sev de M3(K) de dim 9 !! Je ne vois pas où est l'erreur ??

Je ne sais pas quel est le supplémentaire de E que tu as trouvé, mais en connaissant une base (=un vecteur non nul) de ce supplémentaire, tu peux aussi en déduire une base de E.

Autre problème,
comment montrer que si B (resp C) tq AX=B(respC) a au moins une solution, AX=bB+cC a au moins une solution ??

Je reformule la question différemment (on peut la résoudre matriciellement mais si je te donne une indication sous forme matricielle, je pense que je t'aide trop):
On appelle f l'application lineaire de R^3 qui a pour matrice A dans la base canonique. Dire que AX=B a au moins une solution signifie que B a au moins un antécédent par f. Idem pour AX=C.
La question revient à montrer que sous ces conditions, bB+cC possède au moins un antécédent par f.

Cordialement

[invite9985ead2]

Merci beaucoup pour ta réponse !

Alors pour le premier problème, j'ai pas assez réfléchi : en effet on enlève

(0,0,0
0,1,0
0,0,0), inutile. Donc ça fait bien une base de card 8 donc dim8 !

Ensuite la dim de mon sev sera donc 9, ça marche !

Pour le second problème, j'ai encore du mal... On n'a pas encore fait les app linéaires. Existe-t-il un th disant que si B a un antécédent, ses combinaisons linéaires en ont un ?