continuité

invite6ce4291e · 28/02/2009, 15h06

Soient g et f deux fonctions continues de [0;1] dans lui-même, tel que gof=fog, montrer qu'il existe c tel que f(c)=g(c).
J'ai eu cet exo en colle j'ai rien compris a l'explication de mon colleur , et meme celles de ma prof ne m'ont pas permis de comprendre, je sais juste qu'il y avait une histoire de composée n fois a faire tendre vers l'infini mais c'est très vague, quelqu'un peut-il m'expliquer rapidement?

**MMu** · 01/03/2009, 22h53

Soit $\text{[math]}$ . Evidemment $\text{[math]}$ n'est pas vide (voir par ex la fonction $\text{[math]}$ ).
Si $\text{[math]}$ on peut écrire $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ , et donc $\text{[math]}$ .. etc .. , et donc $\text{[math]}$ .
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Supposons qu'il n'existe pas $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ ne doit pas changer de signe (remember le TVI).
Supposons par exemple $\text{[math]}$ . Prenons un $\text{[math]}$
On a alors $\text{[math]}$
La suite $\text{[math]}$ est monotone et bornée donc elle est convergente : $\text{[math]}$ .
Je te laisse déduire que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (puisque $\text{[math]}$ est un fermé) . Je te laisse aussi conclure

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