continuité

[invite6ce4291e]

Soient g et f deux fonctions continues de [0;1] dans lui-même, tel que gof=fog, montrer qu'il existe c tel que f(c)=g(c).
J'ai eu cet exo en colle j'ai rien compris a l'explication de mon colleur , et meme celles de ma prof ne m'ont pas permis de comprendre, je sais juste qu'il y avait une histoire de composée n fois a faire tendre vers l'infini mais c'est très vague, quelqu'un peut-il m'expliquer rapidement?
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[invite3240c37d]

Soit . Evidemment n'est pas vide (voir par ex la fonction ).
Si on peut écrire donc , et donc .. etc .. , et donc .
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Supposons qu'il n'existe pas tel que , donc ne doit pas changer de signe (remember le TVI).
Supposons par exemple . Prenons un
On a alors
La suite est monotone et bornée donc elle est convergente : .
Je te laisse déduire que et (puisque est un fermé) . Je te laisse aussi conclure
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