continuité

[invite48b7a4f0]

Bonjour
soit f définie par

x^3 si x appartient à Q
f(x) =
4x² si appartient à R - Q

Il faut étudier la continuité
J'ai dit que Q est dense dans R.
Posons a = p/q p et q premiers entre eux
et j'utilise la défintion de la continuité mais je suis un peu bloqué...
Pourriez vous m'aider
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[invitec317278e]

essaie déjà de trouver la réponse sans démonstration, à "l'instinct".

[invite48b7a4f0]

Je pense qu'elle est pas du tout continue, à l'instinct...
Mais de la a le démontrer

[invitea41c27c1]

Elle est continue en exactement deux points : x=0 et x=4 (trace les graphes pour y voir plus clair). Et pour savoir si elle est continue ou non en un point x fixé il suffit de revenir à définition de la continuité (avec les epslison).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

sinon, on peut faire avec la caractérisation séquentielle (que je trouve ici plus rapide, partant de la densité comme acquise, on a moins de boulot) :
On se donne t différent de 0 et 4, et on veut prouver que f n'est pas continue en t.
-si t est rationnel, on se donne une suite d'irrationnels tendant vers t (par densité), et on observe très rapidement que la suite ne tend pas vers la bonne valeur...sans espilons :
comme la fonction 4x² est continue en t, la suite tend vers 4t², alors qu'elle devrait tendre vers f(t)=t^3, et comme les deux sont différents, on a manifestement discontinuité.
-sinon, on inverse le raisonnement.

[invite7863222222222]

Bonsoir,

la continuité en 0 et 4 est-elle si évidente ?

edit : effectivement oui, les deux fonctions de base étant continues, la fonction résultante est intuitivement continue en 0 et 4.

[invitec317278e]

C'est évident dans le sens où c'est intuitif, en revanche, ce n'est pas quelque chose dont l'évidence est telle que ça se passe complètement de démonstration..