Bonjour, j’ai des difficultés pour répondre à la dernière question de l’exercice suivant, pouvez-vous m’indiquer comment faire ? Voici l’énoncé, j’ai également les résultats que j’ai trouvés.
Soit A la matrice carrée d’ordre 3 suivante : A= 1 1 -1
0 0 1
2 1 2
Vérifier que A^3= 3A²- 3A + Id₃
En déduire que A est inversible et calculer son inverse.
(A)^(-1)= A²- 3A+ 3Id₃= -1 -3 1
2 4 -1
0 1 0
3. Résoudre le système : x+y-z= a
z=b
2x+y+2z= c
Je trouve x= -a+c-3b
y=2a-c+4b
z=b
Donner l’expression de A⁴ en fonction de A², A et Id₃. Calculer A⁴.
A⁴= 6A²-8A+3Id₃
A⁴= -11 -8 -4
12 9 4
20 16 5
Montrer par récurrence sur n que Aⁿ=αA²+ βA+γId₃ pour tout n appartenant à N avec
α= ½ n ( n-1) β= (2-n)n γ= ½ (n-1) ( n-2)
Retrouver les valeurs de α, β et γ en effectuant la division euclidienne du polynôme Xⁿ par
X^3-3X²+3X -1
C’est à cette dernière question que je n’arrive pas à répondre. Pouvez-vous m’aider ?
Merci
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