Fontion maximale de Hardy-Littlewood

[invite947ee6e5]

Bonjour,
Voilà l'exercice qui me pose probleme :

Soit la fonction f définie sur R par :
f(x) = 1/ [|x|. log (1/|x|)]² si |x|<1/2
f(x) = 0 sinon

a/ Verifier que f est intégrable.
b/ Etablir l'inégalité : f*(x) >= c/[|x|. log (1/|x|)], pour tout |x| < 1/2, et avec c>0. Conclure que la fonction maximale f* n'est pas localement intégrable.

Pour a/, je sais qu'il faut montrer que mais n'y arrive pas.
Pour b/, même en écrivant la formule donnant la fonction maximale f*:
,
je ne vois pas comment dériver l'inégalité.
Ensuite, pour montrer que f* est non intégrable, je devine que l'on va montrer que , et en déduire par comparaison que . Mais comme dans a/ je n'arrive pas a me débrouiller avec l'intégrale .

Quelqu'un peut-il m'aider ?
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[sebsheep]

pour le a/, non ? ce qui ressemble furieusement à une intégrale de Bertrand.

edit : et en 0 elle est définie par quoi ta fonction ?

[invite947ee6e5]

pour le a/, non ? ce qui ressemble furieusement à une intégrale de Bertrand.

edit : et en 0 elle est définie par quoi ta fonction ?

J'ai vérifié mais non, il n'y a pas de signe - au dénominateur, et c'est bien log(1/|x|).
Il n'y a pas de précision pour la définition en 0.
Aussi j'ai commencé comme ça :


Mais je ne vois pas en quoi c'est plus évident que c'est intégrable, c'est a dire, que

[Universus]

Bonsoir,

On a que . Donc ton intégrale est de la même forme que celle mentionnée par sebsheep.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

f n'est sûrement pas intégrable, puisque x^1/2.|log x| tend vers 0 en 0, donc est bornée par 1 au voisinage, donc f est minorée par 1/x qui n'est pas intégrable.