[Probas] Chaos polynomial - preuve ?

[Romain-des-Bois]

Bonsoir,

je m'intéresse au chaos polynomial et notamment au résultat qui dit :
si est une v.a. de carré intégrable alors il existe une suite telle que :

où les sont iid N(0,1) et où les sont les polynômes de Hermite orthogonaux entre eux :

où est la densité de la N(0,1).

Voilà... Avez-vous des liens intéressants à ce sujet et notamment des liens vers la preuve de ce résultat (qui ne doit pas être évidente, étant donné que les publi dont j'ai la référence sont de 2002 et 2004, ce qui laisse présager une preuve tardive pour un résultat conjecturé il y a longtemps)

Je vous remercie !

Bonne soirée

Romain
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[invite14948dc1]

Bonjour,

Je te propose quelques éléments de réponse. Soit la fonction de répartition de , alors on peut effectuer le changement de variable suivant : , où et est la fonction de répartition normale standard.

Si est une fonction de carré intégrable par rapport à la mesure gaussienne (i.e. si est de carré -intégrable), alors elle admet le développement suivant :



où la série converge en moyenne quadratique. En effet, la famille des polynômes d'Hermite constitue une base orthonormée complète de l'espace auquel appartient . Je te conseille la référence suivante pour une généralisation de ce résultat :

@Article{Soize2004,
author = {Soize, C. and Ghanem, R.},
title = {Physical systems with random uncertainties: chaos representations with arbitrary probability measure},
volume = {26},
year = {2004},
pages = {395-410},
journal = {SIAM J. Sci. Comput.},
number = {2},

}

Dans un cadre plus général (très utilisé en particulier pour les processus stochastiques), on montre qu'il est possible de représenter toute variable aléatoire de carré intégrable sous la forme d'une série faisant intervenir une infinité de variables normales standard i.i.d. Tu pourras te référer au lien suivant :

http://www.ceremade.dauphine.fr/~gueant/segal/segal.pdf

Voilà, j'espère t'avoir un peu aidé.

A+

Géraud

[invite14948dc1]

Erratum : entre parenthèses je voulais écrire "i.e. est de carré intégrable par rapport à , où est la densité de ".

En effet :