un petit probleme

[invite1ff1de77]

léenoncé est le suivant
Trouver tous les couples (m, n) d'entiers strictement positifs tels que (n^3+1)/ (mn-1) soit entier
j'ai trouvé deux couples
(2,1) et (1,2)
je voulais vérifier avec vs if u want
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[inviteca3a9be7]

Salut,

Y'a aussi (2,2)


Et y'en a d'autres encore

[shokin]

Si mn-1=0, n^3 + 1 ne peut pas en être multiple.

Si mn-1=1, n^3 + 1 doit être multiple de 1. Et mn=2. Ce qui donne tes deux possibilités (1;2) et (2;1).

Si mn-1=2, n^3 + 1 doit être pair, donc n doit être impair. Mais il faut que mn=3, donc tu as deux possibilités (1;3) et (3;1).

Si mn-1=3, n^3 + 1 doit être multiple de 3. Donc n doit être dans la classe 2 modulo 3 (-1, 2, 5,...), mais mn=4, donc (2;2) seule possibilité.

Comme tu vois, tu as toujours, en considérant le paramètre a, deux conditions :

Soit a=mn-1

n^3 + 1 doit être multiple de a

a+1 doit être multiple de m et de n, plus précisément le produit de ces deux entiers.

Mais après... rien ne me prouve, que je sache (dans mes compétences ), que cette liste de couple est finie ou infinie.

Mais si nous considérions le paramètre n...(car partie des deux expressions)

Si n=1, 2 doit être multiple de m-1, donc m peut être égale à 2 ou à 3, deux couples possibles.

Si n=2, 3 doit être multiple de 2m-1, donc m peut être égale à 1 ou à 2.

Si n=3, 4 doit être multiple de 3m-1, donc m peut être égale à 1.

Si n=4, 5 doit être multiple de 4m-1, donc rien du tout.

Si n=5, 6 doit être multiple de 5m-1, donc rien du tout...



Si n=x, x+1 doit être multiple de xm-1...

Si m=1, x+1 doit être multiple de x-1, ce qui n'est possible que pour x=3, x=2. [Les diviseurs d'un nombre ne peuvent être strictement supérieurs à la moitié de ce nombre.] <2 possibilités> (m;n)=(1;2),(1;3)

Si m=2, x+1 doit être multiple de 2x-1, ce qui se limite à x=1, x=2. <2 possibilités> (m;n)=(2;1),(2;2)

Si m=3, x+1 doit être multiple de 3x-1, ce qui se limite à x=1. <1 possibilité> (m;n)=(3;1)

Il y a donc 5 possibilités.

ça me semble bon, non ?

Shokin

[invite1ff1de77]

ton raisonnement est logique et correct de ce qu'il parait
ce qui m'a amené a trouver ces 2 résultats c que j'ai transformé les donnés en un systeme:
(n^3+1)/(mn-1)=n^3/(mn-1) + 1/(mn-1)
donc le systeme est
mn-1=1 pour que ca soit 1/(mn-1)=1 car elle n'a pas d'autres choix
d'ou le resultat
tu vois

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

oui, c'est juste ! mais ça limite le nombre de solutions.

Si mon raisonnement te semble correct et juste et facilement compréhensible, je t'en offre le libre-usage.

Shokin

[Jeanpaul]

ton raisonnement est logique et correct de ce qu'il parait
ce qui m'a amené a trouver ces 2 résultats c que j'ai transformé les donnés en un systeme:
(n^3+1)/(mn-1)=n^3/(mn-1) + 1/(mn-1)
donc le systeme est
mn-1=1 pour que ca soit 1/(mn-1)=1 car elle n'a pas d'autres choix
d'ou le resultat
tu vois

T'es sûr, là ? La solution m = n = 2 n'est pas visible.
Ne pas oublier que 8/3 + 1/3 = 3 qui est entier.

[invite1ff1de77]

oui jean paul
c'etait ce qui me manquait!
merci a tous