Enigme logique

[inviteb5daac52]

Bonjour,
en cherchant des énigmes sur internet je me suis rappelé d'une sur l'algèbre booléen faite en cours, seulement je suis pas d'accord avec le corrigé (que j'ai noté rigoureusement).

Ennoncé :
Une famille se compose du père, de la mère et de l'enfant.
L'enfant déclare : "Ma mère dit toujours comme moi et pourtant, il y a au moins un menteur dans la famille"
Quelles conclusions en tirer ?

On va noter e : l'enfant dit vrai, ^e : l'enfant ment, m : la mère dit vrai, ^m : la mère ment, etc.

Premier désaccord : pour moi, "il y a au moins un menteur dans la famille" se traduit par "^m + ^p + ^e" et non "m + p + e"

Second désaccord : Si on note D la déclaration de l'enfant, alors on a "e.D + ^e.^D = 1" et non "e.^D + ^e.D = 1"

Pourriez-vous m'affirmer mes réponses, et si j'ai faux que l'on m'explique ? Je demande parce que mon professeur n'était pas du genre à se tromper, alors je redouble de vigilance avant de lui balancer
Merci

Note : à la fin, la conclusion est la même avec ma démarche ou bien celle du corrigé.
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[invitea0ece8ff]

J'garanti rien, mais j'suis d'accord avec toi.

[shokin]

Second désaccord : Si on note D la déclaration de l'enfant, alors on a "e.D + ^e.^D = 1" et non "e.^D + ^e.D = 1".

Ne pourrais-tu pas noter ^(eD1) ? ça me "dérange" un petit peu de voir deux fois le signe ^.

Si ça se trouve, c'est juste un malentendu ou une erreur au niveau de la notation.



Shokin

[inviteb5daac52]

Shokin : Non, j'ai bien marqué ce que je voulais. Attention, dans ton expression ^(e.D), la négation porte aussi sur la conjonction ".", ce qui revient à écrire (^e + ^D). Tu t'es trompé ou c'est bien ce que tu voulais écrire ?

"e.D + ^e.^D = 1" exprime que "L'enfant dit vrai et sa déclaration est vrai ou l'enfant ment et sa déclaration est fausse" est toujours vrai.
D'ailleurs, chose amusante, en écrivant cela, je me rend compte que le ou aurait du être remplacé par un soit (ou exclusif) donc "e.D XOR ^e.^D = 1" mais en développant on retombe sur l'expression "e.D + ^e.^D = 1" donc la conclusion ne change pas.

Bon, là prochaine fois que je croise le prof. dans une bonne humeur, je lui demanderais
Si certains veulent la solution n'hésitez pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

"e.D + ^e.^D = 1" exprime que "L'enfant dit vrai et sa déclaration est vrai ou l'enfant ment et sa déclaration est fausse" est toujours vrai.

Il me semble que la proposition "L'enfant dit toujours la vérité." implique "Sa déclaration d1 est vraie.". [Ou aussi : "L'enfant ment toujours." => "Sa déclaration d1 est fausse."] Par d1, d2, ..., dn, j'entends ses déclarations.

Par là, je m'interroge sur la nécessité de mettre, dans une même proposition, une généralité ("L'enfant dit toujours la vérité.") et un de ses exemples ("La déclaration d1 de l'enfant est vraie.").



En gros, si on traduit la phrase de l'enfant : "Ma mère dit toujours comme moi et pourtant, il y a au moins un menteur dans la famille"

Cela donne : (toujours dit par l'enfant)

"(d_i(m) <=> d_j(e)) ET (^((d_i(m) est vraie pour tout i) ET (d_j(e) est vraie pour tout j) ET (d_k(p) est vraie pour tout k)))"

["_i(m)" est une déclaration de la mère

"d_i(m) <=> d_j(e) pour tous i et j" signifie que quelles que soient les déclarations de la mère et de l'enfant, celles-ci sont toujours concordantes.]



Shokin

[inviteb5daac52]

Euh, peut-être ... je te suis pas et je voie pas où tu veux en venir, désolé. De toute façon, la résolution reste "simplifiée" ne serait-ce que parce qu'en réalité, l'enfant ment n'implique pas que toute sa déclaration est fausse (il pourrait mentir que sur une partie).
Si tu veux, tu peux résoudre l'énigme entièrement et on la comparera.

A la base, il s'agissait juste de clarifier les deux désaccords. La solution de l'énigme je l'ai trouvée.

Bonne journée.

[shokin]

Ah ! si tu as résolu l'énigme et que tu maîtrises l'algèbre de Boole, pas de problème.



Shokin

[inviteb5daac52]

Bonsoir, non je ne maîtrise pas la logique c'est pourquoi je faisais appel à vos vérifications
Mais après une mûre réfléxion, j'ai trouvé où ça clochait (points en gras et rouge)... et vous allez voir que c'est assez absurde mais que les profs de maths sont tordus

Tout d'abord,

De toute façon, la résolution reste "simplifiée" ne serait-ce que parce qu'en réalité, l'enfant ment n'implique pas que toute sa déclaration est fausse (il pourrait mentir que sur une partie).

Je retire cela, dans la résolution le fait que l'enfant puisse mentir que sur une partie de la déclaration est bien pris en compte.

Résolution (sans les développements) :
D la déclaration entière de l'enfant "Ma mère dit toujours comme moi et il y a au moins un menteur dans la famille."
d1 la déclaration "ma mère dit toujours comme moi"
d2 la déclaration "il y au moins un menteur dans la famille"
Que l'on peut traduire par
d1=e.m + ^e.^m
d2=^e + ^p + ^m 1
D=d1.d2

On simplifie D=(e.m + ^e.^m)(^e + ^p + ^m) = ... = e.m.^p + ^e.^m + ^e.^m.^p = ...
D= ^e.^m + e.m.^p

Soit la proposition "e.D + ^e.^D = 1" 2. Ce qui se traduit par "L'enfant dit la vérité et sa déclaration est vraie ou l'enfant ment et sa déclaration est fausse".

Calcul de e.D = e(^e.^m + e.m.^p) d'où e.D = e.m.^p
^e.^D = ^e.^(^e.^m + e.m.^p) =... m.^e + m.p.^e d'où ^e.^D = m.^e

Donc e.D + ^e.^D = 1 équivaut à
^e.m + e.m.^p = 1
d'où m(^e + e.^p)=1 ... m(^e + ^p) = 1
donc m=1 : la mère dit toujours la vérité
et (^e + ^p) = 1 : le père ou l'enfant (ou les deux) mentent.

Mes troubles portaient sur :
1 : Mon professeur avait traduit d2 par "e + m + p"
2 : La proposition de mon professeur était "^e.D + e.^D = 1"

Et en faite, dans le corrigé, les variables e, m et p signifient que le sujet ment, et donc ^e signifie que l'enfant dit vrai. (l'inverse de ce que j'ai fait pour ces variables) En sachant cela, ces propositions en 1 et 2 sont légitimes.

Par contre, j'aurais une dernière question pour la route et qui porte sur 2 encore.
Pourquoi "e.D + ^e.^D = 1" et non ""e.D w ^e.^D = 1" (w : ou exclusif)
Dans le premier cas, cela ne revient pas à prendre pour vrai que l'enfant puisse mentir et dire la vérité ? Ne serait-il pas plus juste que l'on mette un ou exclusif pour que l'enfant dise la vérité ou bien mente ?

Merci. Quand je vous disais que ce professeur n'était pas du genre à se tromper ...

[shokin]

Ah ! c'est bien ce que je me disais : tout reposait sur un malécrit (un malentendu par écrit).

Pourquoi "e.D + ^e.^D = 1" et non ""e.D w ^e.^D = 1" (w : ou exclusif)

Dans ce cas, "ou" et "ou exclusif" s'équivalent à cause du "tiers exclu". Tu mets en relation deux propositions l'une contraire de l'autre.

Mais si tu avais deux propositions indépendantes (stochastiquement), par exemple e.D et p.D, le "ou" et le "ou exclusif" ne seraient pas équivalents.



Shokin