slt leon,dans un C-espace vecto de dimension finie,tout endomorphisme admet au moins une valeur propre,et ce resultat est general.en effet,le resultat est vrai dans un R-espace vecto de dimension impaire,et on peut generaliser le resultat en utilisant le fait que tout entier n=(2^ k)*p ou p est un entier impair,procéder parrecurence sur k.
Avé soussiaEnvoyé par soussia
Oui, mais comment démontre-t-on que tout C-endomorphisme admet au moins une valeur propre ?
(tu n'as pas l'intention de prouver le théorème de D'Alembert-Gauss en utilisant un résultat qui est lui-même obtenu grâce au théorème de D'Alembert-Gauss, hein ?
Bonsoir.Avé soussia
Oui, mais comment démontre-t-on que tout C-endomorphisme admet au moins une valeur propre ?
(tu n'as pas l'intention de prouver le théorème de D'Alembert-Gauss en utilisant un résultat qui est lui-même obtenu grâce au théorème de D'Alembert-Gauss, hein ?
C'est fait dans le concours marocain 2007, maths MP 2e épreuve :
http://maprepa.ifrance.com/mp/cnc/m076m2ea.pdf
Taar.
Il existe une démonstration en COQ (c'est un assistant de preuve), tu peux voir à l'INRIA.
c vrai,c le sujet de CNC 2007.mais rien n empeche que ca m'a servi.en tout cas c a n utilise pas le theo en question,mais il le demontre algebriquement.
resalut, Mediat stp donne moi le support de la demonstration (INRIA).
La démonstration n'est pas complètement algébrique (ouf, on est cohérent !) car elle utilise le TVI pour le cas des degrés impairs.
De plus on admet que tout polynôme de degré 2 admet 2 racines réelles ou complexes, éventuellement confondues, et j'imagine qu'il y a peut être là une réelle difficulté
C quoi le pb stp!
Eh bien, comment démontre-t-on cela rigoureusement ?
stp,tu m accorde du temps pour rediger ca,ok! mais l idée c tjrs la meme,montrer le theo de d Alembert gauss revient a montrer que tt endimorphisme d 1 C-espace vecto de dimension finie admet au moins une valeur propre.
en dimension 3 ça doit pouvoir se montrer à l'aide d'un argument topologique: le théorème du point fixe qui dit que toute application continue de la sphère S^2 dans elle-même a soit un point fixe, soit un point dont l'image est le point opposé. Maintenant, à partir de ton endomorphisme h, tu construis une application de la sphère dans elle-même en prenant f(x)=h(x)/||h(x)|| pour x appartenant à la sphère. Le point fixe correspond à un vecteur propre. Je crois que ce théorème est valide en dimension supérieure (àvérifier). Reste la dimension 2, mais là on a des solutions explicites.
Ambrosio as tu regardé la démonstration donnée au concours marocain ? Elle est presqu'entièrement algébrique, on utilise simplement le TVI pour les degrés impairs. Mais dans le début du sujet on admet que tout polynôme de degré 2 a deux racines complexes, éventuellement confondues. Je me demandais si il n'y a pas là une autre difficulté cachée ?
Bonjour.
Il n'y a pas de difficulté, puisqu'on sait que tout nombre complexe admet une racine carrée (par module et argument, ou mieux, par réduction au même problème dans).
On sait donc factoriser un polynôme de degré deux (via la forme canonique). C'est tout ce dont on a besoin --- à la question C.I.2(c).
Taar.
si la dimension de l espace est impair 2n+1,le polynome caracteristique de tout endomorphisme de cet espace sera de degré 2n+1,par TVI,il existe tjrs une valeur propre ds ce cas.
