.::aide en math::.

[inviteb4b1e3b6]

pouvez vous m'aider à resoudre cet exercice ? svp
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[KerLannais]

Salut,

On a moyen de s'en sortir très astucieusement Es tu d'accord que d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz on a:

On est donc dans un cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et je te laisse conclure ...

[inviteb4b1e3b6]

salut KerLannais,
j'ai deja essayer ca mais j'ai rien trouver ; tu peux expliquer comment?

[KerLannais]

Re,

Je te rappelle la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, Soient et des fonction continues sur à valeurs réelles, et un nombre réel, on a:

Notons:

Ce sont de simples nombres réels et avec ces notations on a d'après ce qui précède:
(1)
c'est un polynôme de degré 2. Faisons l'étude de la fonction:

On calcule la dérivée:

ne s'annule que lorsque:
1_ et alors et l'inégalité de Cauchy-Schwarz est évidente dans ce cas, y compris le cas d'égalité.
2_ (en effet si on a forcément car ) et , et on a (comme est positif) négatif pour et positif sinon. La fonction a donc un minimum en qui vaut:

En vertu de (1) ce minimum est positif et

ou autrement dit

Lorsqu'il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

Le minimum de est alors nul, je vais noter
la valeur de pour laquelle le minimum est atteint est , d'après le tout premier calcul on a:

Quand l'intégrale d'une fonction continue positive sur un segment (non réduit à un point) est nulle, cette fonction est nulle et donc:

ce qui donne

on dit que et sont positivement liés, c-à-d qu'il existe un nombre réel positif ou nul tel que l'égalité précédente soit vérifiée ( et sont alors colinéaires c'est pour ça qu'on dit qu'ils sont liés car la famille n'est pas libre). Il est clair que la réciproque est vrai, à savoir que si et sont positivement liés il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Rq: dans le cas ou , on voit que pour qu'il y ait égalité il faut que et donc on peut choisir n'importe quel .

Après ce rappel (certainement inutile d'ailleurs puisque je suppose que tu connaissais déjà tout ça, et si j'ai essayé d'être élémentaire c'est pas parce que je te prends pour un imbécile, mais c'était pour être le plus clair possible), revenons à ton exercice. Si on applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz à et on a:

la dernière égalité provenant de l'hypothèse sur , comme il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz, et sont donc positivement liées, c-à-d qu'il existe tel que:

Si alors et donc elle est bien constante, supposons donc que , soit on a:

Il y a deux cas, soit , soit et auquel cas on peut diviser l'égalité par qui est non nul et on obtient:

(il faut noter que ne dépend pas de )
La fonction ne peut prendre que deux valeurs distinctes, et . D'après la continuité de et le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que ne peut prendre qu'une seule de ces deux valeurs sinon elle prendrait toute les valeurs intermédiaires (soit une infinité) et c'est impossible d'après ce qu'on a vu. Finalement doit être constante, mais on peut même être plus précis car si avec une constante alors:

ce qui donne en particulier, comme


et donc on a forcément ou . Réciproquement, si est constante égale à ou elle vérifie bien toutes les hypothèses de l'énoncé.

NB: les hypothèses de dérivabilité et de continuité de la dérivée sont apparemment inutiles, sans doute que celui qui a fait l'exo avait une autre solution qui utilisait ces hypothèses (et donc une solution moins bonne)

J'espère avoir été assez clair Je ne vois pas trop ce qui t'a bloqué étant donné qu'une fois qu'on avait vu qu'il s'agissait d'un cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz ça tombe tout seul

[A voir en vidéo sur Futura]