demonstration de d alembert gauss

[invite710639d7]

salut,je m interesses au divers demonstrations du theoreme de d alembert gauss,si jamais vous pouvez m aider pourqu'oi pas?
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[invite58633955]

Bonjour,
Y a plein de démos différentes de d'Alembert-Gauss, tu en trouveras plein sur le net.
La plus naturelle a mon gout, consiste a remarques que le module d'un polynome sur C atteint son minimum sur un certain disque, ensuite ce minimum est nécessairement nul parce que s'il n'etait pas nul en "tournant autour du point en lequel il est atteint" on peut trouver un point d'image plus petite, c'est à dire que si a est le point ou ton minimum est atteint localement ton polynôme va s'ecrire P(a)+b(z-a)^k+qqch de petit, et si P(a) est non nul en choisissant bien z (notemment son argument) tu peux trouver un point d'image plus petite
Le plus economique consiste à dire que si ton polynôme n'admet pas de zero alors son inverse est borné et holomorphe sur C, donc constant.
On peut aussi faire une recurrence sur la valuation diadique du degré de ton polynome...

Bref y a vraiment beaucoup de preuves...aux saveurs assez différentes.

[invite710639d7]

bonjour
merci therordre ,c vrai j ai pu trouver bcp sur le net,mais en fait je suis entrain de preparer une memoire qui consiste principalement aux divers demonstraions de ce theo,et voila une s apui sur la connexité des applications dans les espaces topologiques.et j y tjrs pas pu l avoir,si qlq 1en a des info et qui peu m aider!

[invite986312212]

bonjour,

toutes les démonstrations de ce théorème font appel à de la topologie (parfois déguisée en termes d'analyse complexe). C'est d'ailleurs curieux de prime abord, parce que le résultat est purement algébrique. Ca l'est moins si on se rappelle comment R est construit.
les démonstrations les plus algébriques traitent du cas de polynômes de degré pair, le cas des polynômes réels de degré impair étant réglé par le théorème des valeurs intermédiaires (donc de la topologie - de l'analyse si tu veux)

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

toutes les démonstrations de ce théorème font appel à de la topologie (parfois déguisée en termes d'analyse complexe). C'est d'ailleurs curieux de prime abord, parce que le résultat est purement algébrique. Ca l'est moins si on se rappelle comment R est construit.
les démonstrations les plus algébriques traitent du cas de polynômes de degré pair, le cas des polynômes réels de degré impair étant réglé par le théorème des valeurs intermédiaires (donc de la topologie - de l'analyse si tu veux)

Je comprends bien ce que tu dis. Mais la phrase << le résultat est purement algébrique. >> me gêne un peu. Comme tu l'expliques, dans << C est algébriquement clos >>, il y a l'expression "algébriquement clos" qui est algébrique, mais aussi "C" qui lui ne l'est pas (because R, etc.). Je pense donc que ce n'est pas donc pas un résultat purement algébrique, tant que C n'est pas défini purement algébriquement.

Si on dit que C est défini algébriquement à partir de R (muni de quelques propriétés, comme le TVI), alors les preuves utilisant le degré (dont tu parles) sont purement algébriques puisqu'on admet les propriétés de R.

[invite710639d7]

bonjour,
en math tt est lié,puisque c est un raisonnement enchainé,mais c a n empeche qu il y a des demonstrations en anlyse puremement anaytique et vice versa,en tt cas je suis pas d accor que ttes les demonstrations se basent sur la tpoplogie.si on procéde par la matrice compagnante d1 polynome nul part on utilise la topologie.

[invite986312212]

tu dois parler de la matrice compagnon. Je ne connais pas cette démonstration, peux-tu me la rappeler, ou donner une référence?

[invite710639d7]

bonjour,
on considere la matrice compagnon A d 1 polynome unitaire P(X) de degrè n a coefficients complexes,cette matrice on demontre qu elle admet une valeur propre qui n est autre que la racine du polynome caracteristique de A qui est egale a ((-1)^n)+P(X),donc P admet au moins une racine.donc tt est basé sur la fait qu une matrice a coefficients complexe admet au moins une valeur propre.

[invite710639d7]

excusez moi le polynome caracteristique d 1 matrice compagnon d 1 polynome untaire P(X) est egale a ((-1)^n)*P(X)

[invite986312212]

ah et comment montre-t-on qu'une matrice complexe a une valeur propre?

[invite710639d7]

tt endomorphisme d1 espace vectoriel de dimension impaire admet au moins une racine complexe,puis on generalise le resultat ds 1 espace vecto de dimension qlq en utilisant le fait que tt entier n se decompose de maniere unique sous la forme n=(2^k)*p avec p impaire.perso j ai trouveé cela comme sujet d 1 concours,si jamais tu veux que je te fil l énonce avec plaisir.

[invite986312212]

mais es-tu certain que la preuve qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension impaire admet une valeur propre ne fait pas appel au fait qu'un polynôme de degré impair a un zéro?

[invite2ac85754]

Cher Soussia, je ne sais pas si cela est ce que tu cherches, mais voici une preuve qui utilise un peu de topologie algébrique (le groupe fondamental). Autrement dit, il s'agit d'une preuve qui utilise la version topologique de la théorie de Galois. L'argument clé est que les sphères de dimension sont toutes simplement connexes, alors que le cercle ne l'est pas.

Soit un corps, que l'on suppose être une extension finie de . Notons le degré de cette extension. Nous allons démontrer qu'alors .
En tant qu'espace vectoriel sur , est de dimension , et donc de dimension finie. Par conséquent, la multiplication de étant -bilinéaire, elle est différentiable (en particulier, continue), ce qui fait de une -algèbre de Banach. On a donc une exponentielle:

définie par la formule habituelle

L'exponentielle est une application de classe et est un morphisme de groupes (avec la multiplication sur , et l'addition sur ). On peut vérifier que le noyau de l'exponentielle est le sous-groupe de et qu'elle fait de un revêtement de de groupe (la preuve est exactement la même que dans le cas particulier ou ; une autre manière de voir cela très rapidement est d'utiliser le théorie générale des groupes de Lie, car nous sommes ici en train de considérer le revêtement universel du groupe de Lie ). Comme est contractile, on voit donc que le groupe fondamental de au point est isomorphe à . Or est homotope à la sphère de dimension , et donc son groupe fondamental est non trivial si et seulement si . CQFD

[invite642cafc1]

Joli démo specieuse.
Pendant qu'on y est, une autre démonstration topologique (avec très peu d'algèbre).
Soit P un polynôme de degré n 'admettant pas de racine dans C. A montrer que n=0.
Soit f une fonction continue de [0;1[ dans R telle que f(0)=0
On note S¹ le cercle formé par les complexes unitaires.
L'application définie par :
pour t <1
H(1,e^{iw})=e^{inw}
(On a en particulier H(t,1)=1 pour tout t)
H est continue sur [O,1[xS¹car P ne s'annule pas,
d'autre part si P(z)=a_nzⁿ+... alors P(z)/|P(z)|tend vers, quand |z| tend vers +infini, (a_n/|a_n|)(z/|z|)ⁿ, en particulier si z est réel positif P(z)/|P(z)|tend vers a_n/|a_n|. Ainsi, H est continue sur {1}xS¹.
Donc H est une homotopie de lacets.
Or, en t=0 H(0,_) est de degré 0
en t=1 H(1,_) est de degré n
Donc par invariance homotopique du degré n=0.

[invite986312212]

je connais une variante de cette démonstration qui utilise la sphère de Riemann (la fameuse sphère posée par son pôle sud sur le point 0 du plan complexe, munie de la transformation conforme dite "stéréographique" je crois).

[invite710639d7]

merci tt le monde,je ne savais pas que ce theo avais de si belles demonstrations

[invite710639d7]

salut tout le monde,merci pour tout,voici une demonstration du theo de D'Alembert Gaussutilisant la matrice compagnon.
Montrer que tout polynôme non constant à coefficients complexes posséde au moins une racine complexe,
revient à montrer que tout endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie posséde
au moins une valeur propre complexe. En effet, supposons que tout endomorphisme d’un C-espace
vectoriel de dimension finie E posséde au moins une valeur propre complexe. Soit
P = a0+a1 X +a2 X2+.................+an-1 Xn-1+Xn
un polynôme non constant de C[X], on associe à P sa matrice compagnon notée A = (a i,j) 1<i,j<n .
on considére l ’endomorphisme u définit sur C^n à valeurs dans C^n de matrice A par rapport à la base canonique. Alors on voit que le polynôme caractéristique de u noté v= P. Soit " \lambda " une valeur
propre de u. Donc v(\lambda) = 0;par suite P(\lambda) = 0. D’où le théorème de D’Alembert-Gaus.

[leon1789]

voici une demonstration du theo de D'Alembert Gaussutilisant la matrice compagnon.(...) Soit " \lambda " une valeur propre de u. (...)

Comment justifier l'existence de cette valeur propre "\lambda" ?! ...

[Thorin]

Et bien c'est simple : tout polynôme admet une racine dans C au moins

[invitea41c27c1]

Et bien c'est simple : tout polynôme admet une racine dans C au moins

Tu te mords la queue je crois...

Soussia a démontré : "Tout endomorphisme admet une valeur propre" => "D'Alembert Gauss".

Et on lui demande maintenant de montrer "Tout endomorphisme admet une valeur propre"...

[Thorin]

Tu te mords la queue je crois...

d'où le smiley vert^^

[ericcc]

Ne vous gaussez point des étudiants qui se débattent ainsi dans le maquis des mathématiques, et font parfois des raisonnements à l'endroit au lieu d'à l'envers.

[Thorin]

je ne me gausse pas, ça arrive à tout le monde de temps en temps de s'embrouiller un peu^^ d'ailleurs, ca fait une bonne demi heure que je vérifie que je me mords pas la queue avec ma démo de cauchy schwarz^^

[ericcc]

Manifestement être en classe MP cette année ne permet pas de distinguer les à peu près et autres (mauvais) calembours...
Bref tu es dans le noir pour ta démonstration de Cauchy-Schwarz...

[Thorin]

*yen a pas compris*
n'hésite pas à expliciter

[ericcc]

en allemand Schwartz= ?

[invitea41c27c1]

d'où le smiley vert^^

Ok, au temps pour moi...

Sinon Thorin, t'as passé les concours?

[Thorin]

après recherche sur schwarz (jamais fait d'allemand), je suppose qu'il fallait aussi voir un jeu de mot avec gausser

"l'amour c'est comme l'arithmétique, ça commence par de bezout, ça finit par des gauss"...

Pour faire un détour sur Schwarz : quelqu'un connait une démo autre que celle avec le discriminant d'un trinome du second degré ? parce que si personne n'en connait, jsuppose que c'est pas la peine que j'continue à chercher, jdois avoir faux.


Edit : oui, j'ai passé mes concours, mais sans doute 5/2 l'année prochaine, histoire de voir si je suis pas meilleur en *

[ericcc]

[QUOTE=Thorin;2450614]après recherche sur schwarz (jamais fait d'allemand), je suppose qu'il fallait aussi voir un jeu de mot avec gausser
QUOTE]

J'admets que le coup de l'endroit et l'envers c'était lourd

[invitef1b93a42]

Pour faire un détour sur Schwarz : quelqu'un connait une démo autre que celle avec le discriminant d'un trinome du second degré ? parce que si personne n'en connait, jsuppose que c'est pas la peine que j'continue à chercher, jdois avoir faux.

Je connais une démonstration qui utilise que des notions "de base". L'inégalité se réécrit . Or, d'où c'est-à-dire .