espace non contractile

invite769a1844 · 21/03/2009, 22h07

Bonsoir,

j'ai du mal à voir pourquoi la sphère $\text{[math]}$ n'est pas contractile.
Merci pour votre aide.

invite769a1844 · 21/03/2009, 22h28

Ah je crois que j'ai compris. Le groupe fondamental de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ ,
et $\text{[math]}$ est connexe par arcs, il ne peut donc pas être contractile.

invite642cafc1 · 22/03/2009, 16h36

Envoyé par rhomuald

Ah je crois que j'ai compris. Le groupe fondamental de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ ,
et $\text{[math]}$ est connexe par arcs, il ne peut donc pas être contractile.

Le groupe fondamental de la sphère est le groupe réduit à un seul élément (S² est simplement connexe), tu confonds avec le tore (creux) qui lui a bien un groupe fondamental isomorphe à Z².
(pourquoi le "et S² est connexe par arcs", s'il ne l'est pas ou si le groupe fondamental n'est pas réduit au groupe à un seul élément cela suffit pour montrer que l'espace n'est pas contractile.

Il y a divers arguments pour montrer que S² n'est pas contractile, par exemple H₂(S²;Z)=Z (2ème groupe d'homologie) ou $\text{[math]}$ (2ème groupe d'homotopie)... Quelles connaissances as-tu en topologie (en particulier en topologie algébrique) ces notions te disent-elles quelque chose ?

invite769a1844 · 22/03/2009, 17h08

Effectivement j'ai confondu le tore et la sphère.

En topologie algébrique, j'ai vu à peu près ce qui est dit dans les quatre premiers chapitres de ce polycop.
Je ne suis pas encore familiarisé avec les notions de groupes d'homotopie supérieurs et je n'ai jamais entendu parler des groupes d'homologie.

Je pensais que les notions d'homotopies et de groupe fondamental suffisait pour répondre à la question.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite642cafc1 · 22/03/2009, 20h57

Je crains que ce soit difficile à montrer sans ce type d'outils. Mais je peux tenter de te le faire "sentir". Si tu prends un ballon de baudruche que tu gonfles un peu puis tu fais un noeud, on a grossièrement une sphère. On "sent" (du moins je l'espère) que pour ce faire il faudrait que le ballon se troue en un point. Le trou qui est à l'intérieur même s'il n'est pas dans l'espace " sphère" elle-même reste un obstacle pour déformer ce ballon au point de tout contracter en un point

invite769a1844 · 23/03/2009, 19h04

Ok je crois que j'ai senti le truc, j'attendrai de voir les groupes d'homotopie supérieur pour formaliser ça.
Merci gyu.

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