Valeur Moyenne

[invite0dd81b3b]

Bonjour à tous,

J'ai un devoir à faire et on me demande de démontrer la valeur moyenne: l'intégrale de a à b d'une fonction f(t)=(b-a)f(c)

J'ai compris le principe, mais j'ai plusieurs problèmes, pour appliquer le théorème des accroissements finis je dois montrer que F(t) est continue et dérivable et mon hypothèse de départ est : f(t) continue sur [a;b].

Est-ce que une intégrale est toujours dérivable? et continue si la fonction intégrée était continue?

Merci d'avance.
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[invite74de5f91]

D'après le théorème fondamental de l'analyse,
si est une fonction continue sur , alors
la fonction est dérivable sur , et sa dérivée est égale à .

Si n'est pas supposée continue, mais seulement integrable sur , alors n'est pas forcément dérivable (mais elle est par contre toujours continue).

Inversement, si est une fonction dérivable telle que est integrable sur , alors, la fonction est égale à .

Au passage, il n'est pas vrai que toute dérivée est integrable, c'est un défaut de l'integrale de Lebesgue, par rapport à l'integrale de Henstock.