Réduction des endo

[invite70424c07]

bonjour,
Je dois montrer que l'application de Mn(K)->U définie par f(A)=det(Xid-A) est continue avec U qui représente l'espace des polynomes unitaires de degré n
-----

[invite642cafc1]

Cette application n'est elle pas polynomiale ?

[invite70424c07]

c'est ce que j'ai mis cet argument est suffisant?

[invite70424c07]

j'ai une autre question
supposons g rond f = f rond g
Il faut montrer que les sous espaces propres de f sont stable par g

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite642cafc1]

j'ai une autre question
supposons g rond f = f rond g
Il faut montrer que les sous espaces propres de f sont stable par g

Il suffit de l'écrire.
Il faut montrer que ker(f-k.id) est stable par g.
On commence donc par considérer un vecteur propre x de f de valeur propre k, càd f(x)=kx.
Il faut montrer que f(g(x))=k.g(x).
Or f(g(x)) peut s'écrire autrement puisque fog=gof.

[invite70424c07]

ensuite on suppose f et g diagonalisable. Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle les matrices de f et de g sont digonales, la je ne voit pas trop ce que l'on me demande

[invite642cafc1]

f est diagonalisable donc il existe une base formé de vecteurs propres de f. Que peut-on dire de ces vecteurs pour g (cf question précédente) ? Conclusion ?

[invite70424c07]

et la dernière question qui me pose problème est f et g codiagonalisables <=> (f rond g = g rond f, fet g diagonalisables)

[invite642cafc1]

Le sens "<=" est déjà fait.
L'autre sens il y a juste à montrer que fog=gof mais, par exemple, comment sont les matrices de f et de g dans une base bien choisie ?