Morphisme de groupes et ordre des éléments

[invite97a526b6]

Bonjour,

Voici ma question:

Est-ce qu'un morphisme de groupe conserve l'ordre des éléments ?

Ou faut-il des conditions supplémentaires, telle que le morphisme soit injectif, voire soit un ismorphisme ?

Y-a-il des différences dans les cas finis ou infinis ?

Merci pour réponses.
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[Médiat]

Est-ce qu'un morphisme de groupe conserve l'ordre des éléments ?

Est-ce que l'application d'un groupe quelconque vers ({0}, +), le groupe trivial, est un morphisme ? Est-ce qu'il conserve l'ordre des éléments ?

[invite97a526b6]

Est-ce que l'application d'un groupe quelconque vers ({0}, +), le groupe trivial, est un morphisme ? Est-ce qu'il conserve l'ordre des éléments ?

Evidemment non, mais est-ce que la surjectivité du morphisme conserve l'ordre dans le sens direct et l'injectivité du morphisme dans le sens réciproque ?
L'isomorphisme évidemment conserve l'ordre dans les deux sens.

[invite97a526b6]

Ton exemple semble prouver que seul l'isomorphisme conserve l'ordre des éléments.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Il faut que le morphisme soit injectif :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_(...ie_des_groupes)

[Médiat]

Pour la surjection, le contre-exemple répond complètement à la question, pour une injection, dans la mesure ou c'est une bijection sur son image, tu as aussi la réponse

[invite97a526b6]

Pour la surjection, le contre-exemple répond complètement à la question, pour une injection, dans la mesure ou c'est une bijection sur son image, tu as aussi la réponse

Cela répond complètement à ma question. Merci à tous.

[invitebe0cd90e]

Mais tu peux quand meme dire des choses dans le cas general, dont les exemples cités sont des conséquences : tu peux prouver facilement que si f est un morphisme, alors l'ordre de f(a) divise l'ordre de a. Tu peux voir ca directement, car si a est d'ordre n, tu as , mais aussi t'amuser a poser . Dans ce cas, tu sais que . Et comme l'ordre d'un element est exactement le cardinal du groupe engendré par cet element...