Morphisme de groupes et ordre des éléments
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Morphisme de groupes et ordre des éléments



  1. #1
    FAN FAN

    Morphisme de groupes et ordre des éléments


    ------

    Bonjour,

    Voici ma question:

    Est-ce qu'un morphisme de groupe conserve l'ordre des éléments ?

    Ou faut-il des conditions supplémentaires, telle que le morphisme soit injectif, voire soit un ismorphisme ?

    Y-a-il des différences dans les cas finis ou infinis ?

    Merci pour réponses.

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : Morphisme de groupes et ordre des éléments

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Est-ce qu'un morphisme de groupe conserve l'ordre des éléments ?
    Est-ce que l'application d'un groupe quelconque vers ({0}, +), le groupe trivial, est un morphisme ? Est-ce qu'il conserve l'ordre des éléments ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    FAN FAN

    Re : Morphisme de groupes et ordre des éléments

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Est-ce que l'application d'un groupe quelconque vers ({0}, +), le groupe trivial, est un morphisme ? Est-ce qu'il conserve l'ordre des éléments ?
    Evidemment non, mais est-ce que la surjectivité du morphisme conserve l'ordre dans le sens direct et l'injectivité du morphisme dans le sens réciproque ?
    L'isomorphisme évidemment conserve l'ordre dans les deux sens.

  4. #4
    FAN FAN

    Re : Morphisme de groupes et ordre des éléments

    Ton exemple semble prouver que seul l'isomorphisme conserve l'ordre des éléments.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ericcc

    Re : Morphisme de groupes et ordre des éléments

    Il faut que le morphisme soit injectif :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_(...ie_des_groupes)

  7. #6
    Médiat

    Re : Morphisme de groupes et ordre des éléments

    Pour la surjection, le contre-exemple répond complètement à la question, pour une injection, dans la mesure ou c'est une bijection sur son image, tu as aussi la réponse
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #7
    FAN FAN

    Re : Morphisme de groupes et ordre des éléments

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pour la surjection, le contre-exemple répond complètement à la question, pour une injection, dans la mesure ou c'est une bijection sur son image, tu as aussi la réponse
    Cela répond complètement à ma question. Merci à tous.

  9. #8
    jobherzt

    Re : Morphisme de groupes et ordre des éléments

    Mais tu peux quand meme dire des choses dans le cas general, dont les exemples cités sont des conséquences : tu peux prouver facilement que si f est un morphisme, alors l'ordre de f(a) divise l'ordre de a. Tu peux voir ca directement, car si a est d'ordre n, tu as , mais aussi t'amuser a poser . Dans ce cas, tu sais que . Et comme l'ordre d'un element est exactement le cardinal du groupe engendré par cet element...

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