un labyrinthe et non pas une fonction
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un labyrinthe et non pas une fonction



  1. #1
    invite1ff1de77

    un labyrinthe et non pas une fonction


    ------

    salut
    en fait c un petit problème

    - Soit S l'ensemble des réels strictement supérieurs à -1. Trouver toutes les applications S(vers)S vérifiant les deux conditions :
    a) pour tout x et y de S : f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x) ;
    b) la fonction f(x)/x est strictement croissante sur chacun des intervalles [-1,0[ et ]0 +infini[.
    je n'ai pas su d'ou commencer dans la resolution de ce genre d'exercices
    j'espere que vs m'aidiez
    a+

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : un labyrinthe et non pas une fonction

    Salut,

    assigne des valeurs particulières à x et y pour "voir" un peu le comportement d'une solution.

    Par exemple: si x=0, f(f(y))=y(1+f(0))+f(0) est linéaire et f(0) est un point fixe de f.
    En supposant que f s'annule en a, alors a=-af(x) et donc, si a existe, a est nul (car f ne peut être constante).

    Etc.

    Bon courage.

  3. #3
    invite1ff1de77

    Re : un labyrinthe et non pas une fonction

    salut
    comme tu as su que c'est un point fixe
    et quelle est l'etape d'apres

  4. #4
    martini_bird

    Re : un labyrinthe et non pas une fonction

    Et bien, en prenant y=0 dans la première relation: f(f(0))=f(0)...

    Je n'ai pas résolu ton exercice, je te donnais simplement des pistes.

    Dis-nous ce que tu as fait, et, si tu bloques, on pourra peut-être t'aider.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    matthias

    Re : un labyrinthe et non pas une fonction

    On peut remarquer en prenant x = y que tous les x + f(x) + x.f(x) sont des points fixes.
    Maintenant pour un x donné, si on pose y = x + f(x) + x.f(x), que vaut f(y)/y ? Comment concilier ça avec le fait que f(x)/x est strictement croissante sur les deux intervalles ?

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