aidez moi svp je suis bloqué devant un prob de dérivation

[invitef4e2361e]

bonjour tout le monde s 'il vous plait j'ai besoin de l'aide :j'ai pas su comment commencer ce problème dont le début est:
"le but de ce probleme est de déterminer toutes les fonctions f:R--> R vérifiant:
-(H1):f est dérivable en 0.
-(H2):a=f'(0)>0.
-(H3)our tout(x,y) appartiennent à R² tels que 1+xy#0;f(x)f(y)=f(x+y/1+xy)

on considère une telle fonction f.
1.a montrer que f(0)=1
b.calculer f(1) et f(-1)......
svp aidez moi et si vous n'avez aucune idée où je peux trouver une fonction pareille au moins aidez moi pour savoir comment commencer et aborder ce genre de fonction
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[ericcc]

Ce n'est pas un problème de dérivation, mais ce que l'on appelle une équation fonctionnelle.
L'idée est de prendre des valeurs particulières de x et de y dans H3 pour démontrer tes égalités. En effet H3 est valable pour toutes les valeurs de x et de y.
Ici par exemple si je prends x=y=0, je trouve f(0)²=f(0); si f(0)=0 tu montres que f est la fonction nulle (pourquoi ?). H2 te dit que c'est impossible. Donc f(0)=1

Je te laisse continuer pour le 1)b

[invitef4e2361e]

ok merci bcp j vais essayer de continuer

[invitef4e2361e]

je me suis arrêter encore un foi cette fois ci dans la 6 ème question,aidez moi svp.

"le but de ce problème est de déterminer toutes les fonctions f:R--> R vérifiant:
-(H1):f est dérivable en 0.
-(H2):a=f'(0)>0.
-(H3)our tout(x,y) appartiennent à R² tels que 1+xy#0;f(x)f(y)=f(x+y/1+xy)

on considère une telle fonction f.
.......
6/on considère un réel x appartient à R-{-1;0;1}.
a)Déterminer explicitement un nombre M(x)>0 tel que pour tout réel |h|<M(x);il existe un réel y tel que x+h=(x+y)/(1+xy).on donnera l'expression de y en fonction de h.
b)Pour |h|<M(x),former le taux d'accroissement de f entre x et x+h,montrer que f est dérivable au point x et
calculer f '(x).
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4e2361e]

e me suis arrêter dans la 6 ème question d'un problème atour de la dérivabilité..,aidez moi svp.

"le but de ce problème est de déterminer toutes les fonctions f:R--> R vérifiant:
-(H1):f est dérivable en 0.
-(H2):a=f'(0)>0.
-(H3)our tout(x,y) appartiennent à R² tels que 1+xy#0;f(x)f(y)=f(x+y/1+xy)

on considère une telle fonction f.
.......
6/on considère un réel x appartient à R-{-1;0;1}.
a)Déterminer explicitement un nombre M(x)>0 tel que pour tout réel |h|<M(x);il existe un réel y tel que x+h=(x+y)/(1+xy).on donnera l'expression de y en fonction de h.
b)Pour |h|<M(x),former le taux d'accroissement de f entre x et x+h,montrer que f est dérivable au point x et
calculer f '(x).
Merci d'avance.

[invite642cafc1]

Pour 6)a)
il y au moins deux méthodes :
i) on pose , on cherche à exprimer y en fonction de h et on "voit" à quelle condition sur h y existe. Si les "valeurs interdites" sont toutes au moins à une certaine distance d(x) de x alors M(x)=d(x) convient.
ii) on étudie la fonction y->(x+y)/(1xy) et on étudie l'ensemble des valeurs prises pour déterminer les valeurs de h possibles
Ici, la méthode i) qui est plus "légère" fonctionne très bien donc je te la conseille.

Pour 6)b)

Et ceci s'exprime alors assez facilement en faisant intervenir f(x) et a=f'(0).