équation probab à résoudre

[invite491714c1]

Merci pour m'aider pour cette équation de probabilité

P(n+1) = a(n+1) P0 + b [ (1 - a(n+1) / (1 - a) ]
Donnée : On doit partir de P(n+1) = aP(n) + b

Pn est la proba qu'un individu tombe malade. P0 est la probabilité que quelqu'un tombe malade le jour 0

Avec P(n) = P(An) : un individu tombe malade le jour n
J'ai trouvé à une question précédente que P(n+1) = 0,7Pn + 0,1

Après cette relation je dois calculer la limite de Pn lorsque n tend vers l'infini.
-----

[Scorp]

Par récurrence.
On voit que P(n+1)=aP(n)+b=a[aP(n-1)+b]+b=a²P(n-1)+ab+b=...=a^4.P(n-3)+a^3.b+a².b+a.b+b=...
On voit clairement une formule de récurrence apparaitre.
Je place le reste en spoiler pour te laisser chercher un peu...

 Cliquez pour afficher

Tu auras quelques chose du genre :

En calculant la somme on retombe sur ton expression.

[God's Breath]

Donnée : On doit partir de P(n+1) = aP(n) + b

Face à une relation de récurrence de ce type, on cherche une constante telle que la suite définie par soit géométrique de raison .

On peut alors expliciter puis en fonction de .