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Matrice de Rang 1



  1. #1
    Vhopkins

    Matrice de Rang 1


    ------

    Bonjour à tous,

    Je bloque sur un exercice sur les matrices :

    1- Montrer que A€Mn,p(K) est de rang 1 <=> 2- A est le produit d'une matrice colonne (différente de 0) par une matrice ligne (différente de 0)

    Pour la 2=>1 je pense qu'il suffit de montrer que le produit de 2 matrices, une colonne et une ligne fait une matrice avec une seule "case" donc de rang 1.

    Par contre pour le 1=>2 je suis bloqué

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Matrice de Rang 1

    Si tu as une colonne et une ligne , le produit est une matrice carré d'ordre n :



    D'autre part une matrice est de rang 1 si, et seulement si, ses colonnes engendrent un espace de dimension 1, c'est-à-dire s'il existe une colonne non nulle telles que les colonnes de soient proportionnelles à , les coefficients de proportionnalité étant non tous nuls.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    Ksilver

    Re : Matrice de Rang 1

    Salut !

    de facon "plus algébrique" : une matrice est de rang 1 si l'image de l'application canonique associé est de dimension 1, ie, si il existe un vecteur v telle que f(x)=v.lambda(x)

    on vérifie imédiatement que lambda doit etre une forme linéaire, et à partir de la le vecteur colone est v et le vecteur ligne est la matrice de lambda.

  4. #4
    Vhopkins

    Re : Matrice de Rang 1

    Dans mon cas le n de la matrice colonne et celui de la matrice ligne ne sont pas forcément égaux ... Donc le produit des 2 pas forcément carré

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    God's Breath

    Re : Matrice de Rang 1

    Citation Envoyé par Vhopkins Voir le message
    Dans mon cas le n de la matrice colonne et celui de la matrice ligne ne sont pas forcément égaux ... Donc le produit des 2 pas forcément carré
    Tu modifies la taille de la ligne et de la colonne pour que le produit ait la taille de ...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    Vhopkins

    Re : Matrice de Rang 1

    En fait,

    Le rang d'une matrice de format (n,p) est le rang (dans Mn,1) de la famille de ses colonnes

    Donc si ce rang est de 1 cela signifie soit qu'il n'y a qu'une seule colonne soit que les autres colonnes sont multiples de la première.

    A partir de la je ne vois toujours pas comment prouvé l'une ou l'autre des implications... Merci de votre aide

  8. #7
    Vhopkins

    Re : Matrice de Rang 1

    Je dois rendre l'exo pour demain personne pour un petit coup de pouce ?

  9. #8
    Ksilver

    Re : Matrice de Rang 1

    Salut !


    Donc si ce rang est de 1 cela signifie soit qu'il n'y a qu'une seule colonne soit que les autres colonnes sont multiples de la première.>>> oui, ba ca ca signifie exactement que ta matrice s'ecrit comme produit d'un vecteur ligne par le vecteur colone !

    tu as toute les colones qui sont multiples de la première colone non nul. ie on à une certain colone V=(Vi) telle que l'element aij de la matrice s'ecrive aij=Cj.Vi, ce qui signifie exactement que la matrice est le produit d'une colone (V) par une ligne (C)...

  10. #9
    Vhopkins

    Re : Matrice de Rang 1

    Ha oui ... merci j'ai compris maintenant

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