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Matrice de rang 2



  1. #1
    Gpadide

    Matrice de rang 2


    ------

    Bonjour,

    A est une matrice de rang 2, A^n non nul (n = Dim E >2), trace(A) = 0.
    Je dois montrer que A est diagonalisable et préciser son spectre.

    J'ai un peu avancé:

    dim ker A = n -2 donc 0 est valeur propre de A de multiplicité n-2 au moins.
    Maintenant tr(A)= 0 donc les 2 valeurs propres manquantes sont opposées.
    Elles sont non nulles car A ^n non nul.

    Voila ou j'en suis (:. Une tite piste ?

    -----

  2. #2
    Taar

    Bonjour... Tu as fini, là, non ?

    Si a est une des deux vp non nulles, alors dim Ker(A-aI) ≥ 1, dim Ker(A+aI) ≥ 1 et dim Ker A ≥ n-2. Comme le total fait n...

    (à mon avis, la "difficulté" de l'exercice était de voir que les deux vp restantes étaient non nulles ; mais tu as trouvé la solution)

    Taar.

  3. #3
    homotopie

    Re : Matrice de rang 2

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Bonjour... Tu as fini, là, non ?

    Si a est une des deux vp non nulles, alors dim Ker(A-aI) ≥ 1, dim Ker(A+aI) ≥ 1 et dim Ker A ≥ n-2. Comme le total fait n...

    (à mon avis, la "difficulté" de l'exercice était de voir que les deux vp restantes étaient non nulles ; mais tu as trouvé la solution)

    Taar.
    Moi je considère qu'il reste néanmoins un petit problème : l'hypothèse n=dim(E) n'est pas utilisée.
    Citation Envoyé par Gpapide
    dim ker A = n -2 donc 0 est valeur propre de A de multiplicité n-2 au moins.
    Maintenant tr(A)= 0 donc les 2 valeurs propres manquantes sont opposées.
    Elles sont non nulles car A ^n non nul.
    La démo + ton complément suffiraient donc même sans cette hypothèse.
    Contre-exemple sans cette hypothèse :

    vérifie A² non nul, tr(A)=0, de rang 2 mais non diagonalisable.
    La difficulté majeure (là tu as raison) montrer que les deux vp manquantes sont non nulles reste car l'affirmation "Elles sont non nulles car A ^n non nul." est pour l'instant une affirmation non justifiée.

  4. #4
    homotopie

    Re : Matrice de rang 2

    Oubli : il ne manque pas grand chose (une phrase suffit) c'est pour ça que je ne donne pas d'indice.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Taar

    Salut.

    Je ne comprends pas trop ton objection homotopie.

     Cliquez pour afficher


    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 15/06/2007 à 20h54.

  7. #6
    Gpadide

    Re : Matrice de rang 2

    Oui c'est exactement ca, on sait que n majore les indices de nilpotence.

  8. #7
    homotopie

    Re : Matrice de rang 2

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Oui c'est exactement ca, on sait que n majore les indices de nilpotence.
    Voilà le dernier argument qui manquait.

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