Bonjour,
A est une matrice de rang 2, A^n non nul (n = Dim E >2), trace(A) = 0.
Je dois montrer que A est diagonalisable et préciser son spectre.
J'ai un peu avancé:
dim ker A = n -2 donc 0 est valeur propre de A de multiplicité n-2 au moins.
Maintenant tr(A)= 0 donc les 2 valeurs propres manquantes sont opposées.
Elles sont non nulles car A ^n non nul.
Voila ou j'en suis (:. Une tite piste ?
Bonjour... Tu as fini, là, non ?
Si a est une des deux vp non nulles, alors dim Ker(A-aI) ≥ 1, dim Ker(A+aI) ≥ 1 et dim Ker A ≥ n-2. Comme le total fait n...
(à mon avis, la "difficulté" de l'exercice était de voir que les deux vp restantes étaient non nulles ; mais tu as trouvé la solution)
Taar.
Moi je considère qu'il reste néanmoins un petit problème : l'hypothèse n=dim(E) n'est pas utilisée.Envoyé par Taar
La démo + ton complément suffiraient donc même sans cette hypothèse.
Contre-exemple sans cette hypothèse :
vérifie A² non nul, tr(A)=0, de rang 2 mais non diagonalisable.
La difficulté majeure (là tu as raison) montrer que les deux vp manquantes sont non nulles reste car l'affirmation "Elles sont non nulles car A ^n non nul." est pour l'instant une affirmation non justifiée.
Oubli : il ne manque pas grand chose (une phrase suffit) c'est pour ça que je ne donne pas d'indice.
Salut.
Je ne comprends pas trop ton objection homotopie.
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Taar.
Oui c'est exactement ca, on sait que n majore les indices de nilpotence.
Voilà le dernier argument qui manquait.
