Bonjour,
je n'arrive pas a faire qqchose qui est surement tres classique et que je pense connaitre sous une forme tres proche :
Soit A une matrice symétrique réelle d'ordre n. Montrer qu'il existe un polynome P dans R[X] tel que P(A)^3=A.
C'est évidemment la théoreme spectral (enfin je pense !) mais ce qui me gene c'est que c'est un polynome quelconque, lui meme élevé a une puissance donc...
Merci de votre aide (:
Salut,
Si j'étais toi je diagonaliserai sur R pour me ramener à une matrice diagonale réélle. Après, j'écrirai ce que doit vérifier P, et j'aurai presque fini.
Hint : x-> x^3 est bijective de R sur R
__
rvz
je trouve que pour toutes les valeurs propres b, P doit vérifier P^3(b)=b...
Ce qui me chagrine c'est que c'est vraie aussi si A est diagonalisable, la symétrie n'intervient nulle part !
Salut !
Oui, ça marche pour A diagonalisable quelconque.
Hint 2 : Note que les vp sont en nombre fini.
Taar.
Le probleme c'est qu'apres on me donne une matrice 3x3 et il faut trouver ce polynome, donc je pense qu'on peut l'expliciter...
Tu as trouvé les vp ? Qu'as-tu fait ensuite ?
Hint 3 sous forme d'énigme : un mathématicien, deux groupes, trois corps, quatre carrés, cinq points, qui suis-je ?
Pour l'instant j'en suis toujours a ecrire que chaque vp est solution du polynome P^3 - 1. Ca ne me donne pas P pour autant !
C'est plutôt P3-X, en fait.
Reprends plutôt l'indice de rvz. Disons que tu as trouvé 1, 2 et 3 comme vp. Combien doit valoir P(2), par exemple ?
P(2)^3=2 donc P(2) = racine cubique de 2 ?
