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Exo matrices symétriquee



  1. #1
    Gpadide

    Exo matrices symétriquee


    ------

    Bonjour,

    je n'arrive pas a faire qqchose qui est surement tres classique et que je pense connaitre sous une forme tres proche :

    Soit A une matrice symétrique réelle d'ordre n. Montrer qu'il existe un polynome P dans R[X] tel que P(A)^3=A.

    C'est évidemment la théoreme spectral (enfin je pense !) mais ce qui me gene c'est que c'est un polynome quelconque, lui meme élevé a une puissance donc...

    Merci de votre aide (:

    -----

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  3. #2
    rvz

    Re : Exo matrices symétriquee

    Salut,

    Si j'étais toi je diagonaliserai sur R pour me ramener à une matrice diagonale réélle. Après, j'écrirai ce que doit vérifier P, et j'aurai presque fini.
    Hint : x-> x^3 est bijective de R sur R

    __
    rvz

  4. #3
    Gpadide

    Re : Exo matrices symétriquee

    je trouve que pour toutes les valeurs propres b, P doit vérifier P^3(b)=b...
    Ce qui me chagrine c'est que c'est vraie aussi si A est diagonalisable, la symétrie n'intervient nulle part !

  5. #4
    Taar

    Re : Exo matrices symétriquee

    Salut !

    Oui, ça marche pour A diagonalisable quelconque.

    Hint 2 : Note que les vp sont en nombre fini.

    Taar.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gpadide

    Re : Exo matrices symétriquee

    Le probleme c'est qu'apres on me donne une matrice 3x3 et il faut trouver ce polynome, donc je pense qu'on peut l'expliciter...

  8. #6
    Taar

    Re : Exo matrices symétriquee

    Tu as trouvé les vp ? Qu'as-tu fait ensuite ?

    Hint 3 sous forme d'énigme : un mathématicien, deux groupes, trois corps, quatre carrés, cinq points, qui suis-je ?

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  10. #7
    Gpadide

    Re : Exo matrices symétriquee

    Pour l'instant j'en suis toujours a ecrire que chaque vp est solution du polynome P^3 - 1. Ca ne me donne pas P pour autant !

  11. #8
    Taar

    Re : Exo matrices symétriquee

    C'est plutôt P3-X, en fait.

    Reprends plutôt l'indice de rvz. Disons que tu as trouvé 1, 2 et 3 comme vp. Combien doit valoir P(2), par exemple ?

  12. #9
    Gpadide

    Re : Exo matrices symétriquee

    P(2)^3=2 donc P(2) = racine cubique de 2 ?

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