Bonjour, l'exercice est le suivant :
Soit A une matrice n n. Montrer qu'il existe deux matrices orthogonales U et V telles que
Où D est une matrice diagonale.
Ca me rappelle la démonstration qui consiste a montrer que deux matrices de meme rang sont equivalentes. Jai aussi pensé a Gram Schmidt mais je n'aboutis pas.
Une ptite piste ?
Rebonsoir,
Pars du principe que le resultat est vrai et ecris, je te conseille alors de regarder les matrices
Bon c'est juste un debut de commencement de piste...
J'obtiens :
Mais apres je ne vois comment poursuivre...
Bonsoir,
L'important c'est de voir que
Oublions l'espace d'un instant le petit calcul que tu as fait.
Commencons par le cas ou A est inversible,
On peut facilement construire une nouvelle matrice diagonale D a coefficients strictement positifs verifiant
Je te laisse continuer pour trouver l'expression de
Euhhh c'est deja ce que j'avais fait la non ?Envoyé par Gpadide
J'obtiens :
Mais apres je ne vois comment poursuivre...
Si tu as déjà réduit la matrice
Comme on traite d'abord le cas A inversible (je te conseille de commencer par ce cas), D est inversible et à ce moment là je pose :
Tu peux vérifier que ça fonctionne.
Quelle partie du raisonnement te pose problème ?
Ce que je ne comprends pas :
- Comment trouve tu cette expression de U ? (qui effectivement marche)
- Comment montre tu que U est orthogonale ?
- Comment conclure pour A non inversible ? (La densisté de GLn(R) ne me sauve pas cette fois !)
Si l'on a déjà démontré l'existence de
Je calcule
Si ! Tu dois te souvenir que
Je bloque toutefois au niveau de rédaction pour la fin. Je prends une suite A(k) de matrices inversibles. Pour chaque k on définit chaque matrice :
tr(V(k)) * A(k) * U(k) = D(k).
De la, On(R) est fermé donc si les suites U(k) et V(k) convergent, c'est dans On(R). Maintenant pour montrer qu'elles convergent c tendax... J'ai pensé a les faire passer du coté de D mais cela montrerai que UDV converge, enfin pour l'instant j'ai pas mieux...Une ptite piste ?
Salut,
Dabord c ce que j'avais voulu faire. Mais bon ya qd meme 3 suites dont on doit montrer la convergence donc je suis pommé. De plus les suites extraites ne sont pas les memes pour Vet U...
Bonjour,
Pour ce dernier point tout dépend comment tu t'y prends. Pour ne pas perdre la convergence d'une suite il faut extraire successivement. La sous-suite (Uf(k)) converge, pour Vn on extrait de Vf(k) et non de Vk.
Cordialement
Connait on une propriété topologique de l'ensemble des matrices diagonales ?
Si c'est bien diagonale que tu entends alors toutes les propriétés d'un sev dans un R-ev de dimension fini, fermé de Mn(R) par exemple.
Bon dites moi si je raisonne bien alors:
j'extrait une suite f de sorte que :
tV(f(k)) * A(f(k)) * U(f(k)) = D(f(k))
(f est en fait la composée de deux extractrices pour U et V). Maintenant, je suis pas sur du tout pour la suite :
le terme de gauche converge en tant que produit de 3 suites convergentes. Donc D(fk) converge vers une matrice D diagonale. En faisant tendre k vers +inf, j'obtiens :
tr(V)AU=D par continuité du produit matriciel.
Je suis pas sur de pas manquer de rigueur comme ca. Pouvez vous confirmer ou infirmer ?
C'est parfait pour moi !
Bonne continuation dans l'algèbre bilinéaire,
