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Exo matrices orthogonales



  1. #1
    Gpadide

    Exo matrices orthogonales


    ------

    Bonjour, l'exercice est le suivant :
    Soit A une matrice n n. Montrer qu'il existe deux matrices orthogonales U et V telles que



    Où D est une matrice diagonale.
    Ca me rappelle la démonstration qui consiste a montrer que deux matrices de meme rang sont equivalentes. Jai aussi pensé a Gram Schmidt mais je n'aboutis pas.
    Une ptite piste ?

    -----

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  4. #2
    IceDL

    Re : Exo matrices orthogonales

    Rebonsoir,

    Pars du principe que le resultat est vrai et ecris , je te conseille alors de regarder les matrices et .

    Bon c'est juste un debut de commencement de piste...

  5. #3
    Gpadide

    Re : Exo matrices orthogonales

    J'obtiens :


    Mais apres je ne vois comment poursuivre...

  6. #4
    IceDL

    Re : Exo matrices orthogonales

    Bonsoir,

    L'important c'est de voir que est symetrique positif.

    Oublions l'espace d'un instant le petit calcul que tu as fait.

    Commencons par le cas ou A est inversible, est symetrique definie positive. Le theoreme fondamental nous dit que avec orthogonale et diagonale a coefficients strictements positifs.

    On peut facilement construire une nouvelle matrice diagonale D a coefficients strictement positifs verifiant et donc .

    Je te laisse continuer pour trouver l'expression de

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  8. #5
    Gpadide

    Re : Exo matrices orthogonales

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    J'obtiens :


    Mais apres je ne vois comment poursuivre...
    Euhhh c'est deja ce que j'avais fait la non ?

  9. #6
    IceDL

    Re : Exo matrices orthogonales

    Si tu as déjà réduit la matrice avec :



    Comme on traite d'abord le cas A inversible (je te conseille de commencer par ce cas), D est inversible et à ce moment là je pose :



    Tu peux vérifier que ça fonctionne.

    Quelle partie du raisonnement te pose problème ?

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  11. #7
    Gpadide

    Re : Exo matrices orthogonales

    Ce que je ne comprends pas :
    - Comment trouve tu cette expression de U ? (qui effectivement marche)
    - Comment montre tu que U est orthogonale ?
    - Comment conclure pour A non inversible ? (La densisté de GLn(R) ne me sauve pas cette fois !)

  12. #8
    IceDL

    Re : Exo matrices orthogonales

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Ce que je ne comprends pas :
    - Comment trouve tu cette expression de U ? (qui effectivement marche)
    Si l'on a déjà démontré l'existence de et de , tu peux intuiter le résultat : on doit prouver que et donc il est fort probable que U s'écrive et tu n'as qu'à vérifier qu'une telle expression fonctionne


    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    - Comment montre tu que U est orthogonale ?
    Je calcule


    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    - Comment conclure pour A non inversible ? (La densisté de GLn(R) ne me sauve pas cette fois !)
    Si ! Tu dois te souvenir que est compact...

  13. #9
    Gpadide

    Re : Exo matrices orthogonales

    Je bloque toutefois au niveau de rédaction pour la fin. Je prends une suite A(k) de matrices inversibles. Pour chaque k on définit chaque matrice :
    tr(V(k)) * A(k) * U(k) = D(k).
    De la, On(R) est fermé donc si les suites U(k) et V(k) convergent, c'est dans On(R). Maintenant pour montrer qu'elles convergent c tendax... J'ai pensé a les faire passer du coté de D mais cela montrerai que UDV converge, enfin pour l'instant j'ai pas mieux...Une ptite piste ?

  14. #10
    IceDL

    Re : Exo matrices orthogonales

    Salut,

    est plus que fermé, il est compact : il faut donc utiliser des suites extraites convergentes de et

  15. #11
    Gpadide

    Re : Exo matrices orthogonales

    Dabord c ce que j'avais voulu faire. Mais bon ya qd meme 3 suites dont on doit montrer la convergence donc je suis pommé. De plus les suites extraites ne sont pas les memes pour Vet U...

  16. #12
    homotopie

    Re : Exo matrices orthogonales

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Dabord c ce que j'avais voulu faire. Mais bon ya qd meme 3 suites dont on doit montrer la convergence donc je suis pommé. De plus les suites extraites ne sont pas les memes pour Vet U...
    Bonjour,
    Pour ce dernier point tout dépend comment tu t'y prends. Pour ne pas perdre la convergence d'une suite il faut extraire successivement. La sous-suite (Uf(k)) converge, pour Vn on extrait de Vf(k) et non de Vk.

    Cordialement

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  18. #13
    Gpadide

    Re : Exo matrices orthogonales

    Connait on une propriété topologique de l'ensemble des matrices diagonales ?

  19. #14
    homotopie

    Re : Exo matrices orthogonales

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Connait on une propriété topologique de l'ensemble des matrices diagonales ?
    Si c'est bien diagonale que tu entends alors toutes les propriétés d'un sev dans un R-ev de dimension fini, fermé de Mn(R) par exemple.

  20. #15
    Gpadide

    Re : Exo matrices orthogonales

    Bon dites moi si je raisonne bien alors:
    j'extrait une suite f de sorte que :

    tV(f(k)) * A(f(k)) * U(f(k)) = D(f(k))

    (f est en fait la composée de deux extractrices pour U et V). Maintenant, je suis pas sur du tout pour la suite :
    le terme de gauche converge en tant que produit de 3 suites convergentes. Donc D(fk) converge vers une matrice D diagonale. En faisant tendre k vers +inf, j'obtiens :
    tr(V)AU=D par continuité du produit matriciel.
    Je suis pas sur de pas manquer de rigueur comme ca. Pouvez vous confirmer ou infirmer ?

  21. #16
    IceDL

    Re : Exo matrices orthogonales

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Bon dites moi si je raisonne bien alors:
    j'extrait une suite f de sorte que :

    tV(f(k)) * A(f(k)) * U(f(k)) = D(f(k))

    (f est en fait la composée de deux extractrices pour U et V). Maintenant, je suis pas sur du tout pour la suite :
    le terme de gauche converge en tant que produit de 3 suites convergentes. Donc D(fk) converge vers une matrice D diagonale. En faisant tendre k vers +inf, j'obtiens :
    tr(V)AU=D par continuité du produit matriciel.
    Je suis pas sur de pas manquer de rigueur comme ca. Pouvez vous confirmer ou infirmer ?
    C'est parfait pour moi !

    Bonne continuation dans l'algèbre bilinéaire,

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