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Encore des incertitudes



  1. #1
    Rince83

    Encore des incertitudes

    Bonjour,

    Je rencontre un problème au niveau des calculs de moyenne et de variance pour des fonctions à plusieurs variables.

    Soit f(y1,y2,y3)=y1y2y3-1 où les yi sont des variables aléatoires ; typiquement des gaussiennes de valeur moyenne di et d'écart type sigmai

    Je cherche à calculer la valeur moyenne et l'écart type de f (notons les d et sigma) en fonction des di et sigmai.

    J'ai eu l'idée de linéariser.
    Problème, la formule de Taylor Young à plusieurs variables que j'ai utilisée pour linéariser fait entervenir les points où je prends les yi (notons les yi0). Du coup d et sigma dépendent du choix des yi0. C'est pas logique !

    j'obtiens d = -1-2y10y20y30+y10y20y30(d1/y10+d2/y20+d3/y30)


    J'ai vu passer des formules du genre :
    d = somme des di et sigma² = somme des sigmai²
    Elles me paraissent bien, mais comment les démontre t'on ?

    Par avance, merci beaucoup pour votre aide ^^

    -----


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  3. #2
    KerLannais

    Re : Encore des incertitudes

    Slt,

    tu n'a pas besoin de linearisé, le calcule se tensorise très bien:





    le même genre d'astuce marche pour calculer la variance et plus généralement quand f est un polynôme on peut calculer tous les moments qu'on veut.

  4. #3
    Rince83

    Re : Encore des incertitudes

    Merci pour ta réponse Kerlannais ^^

    En ouvrant le message, le calcul m'a fait un peu peur mais effectivement c'était pas si compliqué

    Je vais essayer de poser ça par moi même et je vous tiens au courant ^^

    Au fait désolé mes notations sont infames, les tiennes sont beaucoup plus claires... Il est rigolo de noter que le calcul en linéarisant et en posant yi0=di donne le même résultat pour la moyenne.

  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Encore des incertitudes

    Citation Envoyé par KerLannais Voir le message
    le même genre d'astuce marche pour calculer la variance et plus généralement quand f est un polynôme on peut calculer tous les moments qu'on veut.
    il faut le dire vite!

    as-tu remarqué que ton calcul (où je ne vois aucune astuce) est inutile? tout le monde sait que si X et Y sont indépendantes, on a E(XY)=E(X)E(Y), nul besoin de supposer X et Y gaussiennes.

    pour la variance c'est une autre paire de manches...

  6. #5
    KerLannais

    Re : Encore des incertitudes

    Tu as raison, il suffit d'utiliser l'indépendance des variables. Par contre quand je dis que ce n'est pas plus difficile pour la variance, c'est moi qui ai raison mais je vais être plus précis.
    Soient , et trois variables aléatoires indépendantes à valeurs réelles (cela pourrait marcher avec plus mais ici on en a besoin de 3). On suppose que ces variables admettent des moments à n'importe quel ordre. Je vais noter:



    les moments à l'ordre de ces variables. Soit un polynôme à trois variables alors mon "astuce" permet de calculer:

    En particulier comme à n'importe quelle puissance est encore un polynôme on peux calculer tout les moments de et à fortiori sa variance. On écrit

    Par linéarité de l'espérance on a:

    Par indépendance des variables on a

    Voilà ce que je voulais dire quand je disais le même genre d'astuce. Je n'avais pas précisé puisqu'il me semblais que c'était une généralisation évidente du calcul que j'avais donné.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Encore des incertitudes

    exact! j'ai écrit n'importe quoi (une fois de plus...)

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