Optimisation 2

[invitef178151b]

Bonjour!

Si vous pouvez m'aider pour ce problème, plus complexe que le premier. Je n'arrive pas à trouver les fonctions qui me permettrons de faire mon problème.

Une très longue feuille de métal de largeur L servira à fabriquer une gouttière, en repliant les côtés de longueur x et en formant un angle avec l'horizontale. Quelles dimensions vont permettre de maximiser l'aire de la section?


x \ / x voici à peu près le dessin que sa donne l'angle est
¯¯¯¯¯ formé entre le côté x et l'horizontale.
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[invitef178151b]

Bonjour!

Si vous pouvez m'aider pour ce problème, plus complexe que le premier. Je n'arrive pas à trouver les fonctions qui me permettrons de faire mon problème.

Une très longue feuille de métal de largeur L servira à fabriquer une gouttière, en repliant les côtés de longueur x et en formant un angle avec l'horizontale. Quelles dimensions vont permettre de maximiser l'aire de la section?


Si vous avez des question sur le dessin (question 2b) dans cette page.

http://www.seg.etsmtl.ca/MBeaudin/ma...ir2-H-2005.pdf

J'ai essayer plusieurs méthodes,mais je n'aboutis à rien. Je commence a vouloir jeter la serviette.

Merci de votre aide

[invite3bc71fae]

Je dirais que l'aire de la section est donnée par L²/8* sin(2x)

[invite4793db90]

Salut,

un poil de trigonométrie te permettra d'écrire l'aire du trapèze en fonction de x et de theta...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3bc71fae]

Ouais, c'est x sin (theta) * (L-2x+x cos (theta))

[invite43f8e83d]

L'expression donnée pour l'aire est la bonne.
reste plus qu'à la dériver par rapport à théta.
tu dois avoir un maximum pour la fonction aire de théta lorsque la dérivée s'annule en changeant de signe.
le minimum étant donné par la 2° solution théta=0.

[invite4793db90]

L'expression donnée pour l'aire est la bonne.
reste plus qu'à la dériver par rapport à théta.
tu dois avoir un maximum pour la fonction aire de théta lorsque la dérivée s'annule en changeant de signe.
le minimum étant donné par la 2° solution théta=0.

Attention, il y a deux paramétres: x et theta.

[invitea3eb043e]

On est tenté de dériver par rapport à x et à théta et à dire que ces dérivées sont nulles. On suppose que ni x ni sin(théta) ne sont nuls.
On trouve assez vite que :
(L-2x)*cos(théta) + x*cos(2*théta) = 0
L - 4*x + 2*x*cos(théta)= 0
Il suffit d'éliminer L et simplifier par x et ça donne :
2*cos²(théta) - 4*cos(théta) +3 = 0
et là, ça ne va plus car cette équation n'a pas de solutions réelles !
Moralité : une fonction peut avoir un extremum même si sa dérivée n'est pas nulle : il suffit qu'elle arrive en bout de domaine de définition.

[invite43f8e83d]

je n'ai pas le sentiment que la solution cherchee se situe en bout du domaine de définition...

[invitea3eb043e]

J'ai l'impression, mais on peut se tromper, que la réponse est théta=pi/2 et x = L/4.
C'est cos(théta) qui est en bout de définition.

[invite43f8e83d]

bon, je l'ai fait, mais je ne suis pas sûr ce soit juste:
pour commencer, on écrit l'aire A en fonction de theta (noté @) et X et L

A=L.X.sin@-2.X².sin@-X².sin@.cos@

on dérive A par rapport à X

dA/dX = sin@(L-4X+2X.cos@)

on trouve que cette dérivée s'annule pour @=0 (aire minimal) et pour:

X0=L/(4-2cos@) c'est le X pour lequel l'aire est maximale.

on écrit ensuite l'aire maximale en fonction de ce X0

A0=L.X0.sin@-2.X0².sin@-X0².sin@.cos@


on remplace dans cette expression X0 par sa valeur fonction de L et de @, on obtient:

A0=L².sin@/4.(2-cos@)

on dérive par rapport à @, on obtient

dA0/d@ = f(L,@).(2.cos@-2.sin@-1)

dans laquelle f est une fonction ne s'annulant pas.

la dérivée s'annule pour:

2.cos@-2.sin@-1=0

soit: 2.sin²@+sin@-3/4 =0

soit pour: sin@0=(1+V7)/4 soit @0=65.7°

en remplaçant @ par @0 dans l'expression de X0 on trouve:

Aire maximale pour @0=65.7° et X0=0,315.L


A vérifier...

[invite43f8e83d]

si on trace le résultat, il devrait être la forme se rapprochant le plus du demi-cercle.
on doit avoir la gouttière inscrite dans une portion de cercle, les 4 saillies (2 plis et 2 extremités) étant tangentes à ce demi-cercle.
puisque le cercle est la forme offrant la surface maximale pour le pourtour minimal...