Ensemble de polynômes et supplémentaire

[Fab200]

Bonjour,

Nous avons un soucis avec un exercice, celui-ci nous demande de trouver un supplémentaire de {P (appartenant à) R3[X] tq P(0)=P'(1)=0} dans R4[X].

(R3[X] et R4[X] désignent respectivement l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et à 4, R étant l'ensemble des réels).

Nous pensons qu'il faut utiliser ceci:

"Tout élément de R4[X] doit s'écrire de manière unique comme la somme d'un élément de R3[X] et d'un élément de ?"

Mais nous ne savons pas du tout d'où partir, par où commencer.

Merci d'avance.
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[KerLannais]

Slt,

Je pense que tu peux commencer par chercher une base de ton ensemble de polynômes et éventuellement avant ça tu cherche une caractérisation simple de la condition P(0)=P'(1) en fonction des coefficients de P.

[Fab200]

Nous n'avons pas encore vu la notion de base pour les polynômes.
Pour ce qui est de la caratérisation simple de la condition P(0)=P'(1), je suis partis de l'expression d'un polynôme sous forme de somme, ce qui me donne donc:

(d étant le degré du polynôme)

Mais je ne vois pas où ça pourrait me mener.

[Hamb]

quand tu écris P(0) = P'(1), tu écris une égalité entre deux scalaires, et toi tu obtiens une égalité entre 2 polynomes.
En fait, ce que tu as écrit c'est que P(X) = P'(X), tu dois donc rectifier.
la condition P(0) = P'(1) doit te donner une relation entre les coefficients de ton polynome.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fab200]

Il suffit alors de remplacer les X par 0 et 1 pour obtenir cette relation ? A gauche ça ferait , mais à droite ça reste compliqué.

[KerLannais]

Slt,

Je parlais de la notion de base d'espace vectoriel (car les ensembles de polynômes que tu manipules sont des espaces vectoriels de dimension fini).
Pour la condition il vaut mieux la séparer en 2 considérer P(0)=0 et P'(1)=0 ...

Désolé dans ma première réponse je voulais dire "la condition P(0)=P'(1)=0" mais j'ai oublié le "=0".

[Fab200]

Donc la condition pour que P(0)=0 c'est que le coefficient de degré 0 soit nul et pour que P'(1)=0 c'est la somme des coefficients est égale à 0.

En quoi est-ce que ça pourrait m'aider ?

[Fab200]

J'aurai encore besoin d'un petit coup de main s'il vous plaît.

[Hamb]

P'(1) ce n'est pas la somme des coefficients, écris bien la dérivation pour avoir un résultat précis. Ensuite je viens de voir que dans la définitino de ton ensemble on prend des polynomes de degré <= 3, et on cherche un supplémentaire dans R4[X], cela va te sonner une 3e relation vérifiée par les coefficients. Quand tu as obtenu tes 3 relations : les coefficients d'un polynome sont ses coordonnées dans la base (1,X,X^2,X^3,X^4), ce qui signifie que tu peux identifier le polynome a + bX + cX^2 + dX^3 + eX^4 au 5-uplet (a,b,c,d,e).
maintenant ton probleme s'est ramené à dans l'espace vectoriel R^5 trouver le supplémentaire du sous-espace vectoriel F défini par l'ensemble des 5-uplets (a,b,c,d,e) vérifiant tes 3 équations. Saurais-tu trouver une base de cet espace vectoriel ? comment en déduire un supplémentaire ?