Décomposition en éléments simples

invite4905ac3b · 20/04/2009, 19h44

Bonsoir à vous

Toujours dans mes révisions, je bloque cette fois-ci dans la décomposition en éléments simples.

J'y arrive à tout les coups quand la factorisation est évidente (existence de racines évidentes, identité remarquable...)

Mais je reste bloqué à celle-ci :
X⁷ + X⁵ + 1
---------------
X⁷ + X⁵

Je peux factoriser X⁷ + X⁵ en (X²+1)X⁵, mais ça ne m'aide pas beaucoup.
Pareil avec la racine évidente -1 : j'arrive à (X+1)(X⁶ - X⁵ ....)

Donc les seuls endroits où je bloque, c'est quand j'ai des gros exposants comme ça...

Quelqu'un aurait une piste à me proposer?
Merci d'avance

**invite1237a629** · 20/04/2009, 19h47

Salut,

avant toute décomposition en éléments simples, il faut d'abord faire une division des polynômes.

Là en l'occurrence, tu simplifies en $\text{[math]}$

Bon, c'est vrai que pour l'instant, ça ne change rien ^^

Ensuite, -1 n'est certainement pas racine évidente !
Pense du côté des complexes :

x²+1=x²-(-1)=x²-i²=...

Après, la décomposition est vraiment moche, de la forme :
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

ou alors j'ai rien compris à l'énoncé

invite4905ac3b · 20/04/2009, 20h04

Nan, en passant par les complexes j'ai la même chose moche que toi...

Bon eh bien, je vais partir là-dessus

Merci pour la réponse rapide

invite4905ac3b · 21/04/2009, 09h41

Ah euh je reposte ici, c'est la suite du problème

D'habitude, pour calculer A, B etc... Je multiplie le tout par le dénominateur sous A, puis je fais tendre X vers la racine de ce dénominateur

ex : F(X) = A/(X-1) + B(X + 1) ...
==> (X-1)F(X) = A + B(X+1)(X-1)

Puis je pose X=1 et j'en sors A.

Mais avec un truc de ce genre?

A/X + B/X² + C/X³ ... Je peux pas poser X=0...

Comment faire?

(Désolé, ça faut peut-être partie du cours, mais justement, je révise sans cours... car j'en ai trouvé aucun de valable

)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6bacc516 · 21/04/2009, 09h54

Tu peux poser X=0 en utilisant la méthode habituelle, mais en commençant par le plus grand exposant : $\text{[math]}$

Après une soustraction de ce que tu viens de trouver et une simplification, ou un argument de limite, ou un développement limité, ou la dérivation de l'expression (...) te permettront sûrement de trouver les autres coefficients :þ

Bon courage !

invite4905ac3b · 21/04/2009, 13h27

Envoyé par Dydo

Tu peux poser X=0 en utilisant la méthode habituelle, mais en commençant par le plus grand exposant : $\text{[math]}$

J'ai pas saisi, là

Si je pose $\text{[math]}$ =0, ça veut donc dire que X, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ = 0 aussi , non? Donc toujours le même problème de la division par zéro...

inviteaf1870ed · 21/04/2009, 16h59

Un début : tu poses f(x)=(ax+b)/(x²+1) + c/x^5+d/x^4 etc...

Tu multiplies à droite et à gauche par x^5, et tu fais x=0 d'où c=1

Pour a et b tu multiplies à droite et à gauche par x²+1 et tu fais x=i et x=-i

Puis tu soustrais 1/x^5 à droite et à gauche et tu continues

invite4905ac3b · 21/04/2009, 17h07

Ahh! Je viens de comprendre pourquoi Dydo disait de commencer par les plus grandes puissances ; ça se simplifie

Par contre tu viens de me faire comprend l'astuce de soustraire par C/X⁵ des deux côtés

Merci beaucoup à vous !!

invite4905ac3b · 21/04/2009, 19h42

Bon, encore et toujours un problème...

En appliquant la méthode de soustraction de chaque côté :

j'ai à faire la factorisation de 1 / (X⁵ + X⁷)

Soit 1 / X⁵(X²+1)

Je trouve la décomposition :

A/X⁵ + B/X⁴ + C/X³ + D/X² + E/X + (FX+G)/(X²+1)

je sors A = 1, F = 1/i .

Pour calculer B :

Je soustrais 1/X⁵ des deux côtés. A droite, j'ai bien B d'isolé, et le reste qui se simplifiera avec X=0...

Mais à gauche :

1/X⁵(X²+1) - 1/X⁵
Donne
X⁵ - X⁵(X²+1)
--------
X⁵ ( X⁵ ( X²+1) )

En simplifiant par X⁵, il me reste quand même un autre X⁵ au dénominateur, ce qui m'amène encore à une division par zéro...

Désolé d'insister, mais c'est un examen assez stressant

Merci de votre aide en tout cas.

invite6bacc516 · 21/04/2009, 19h45

Ben tu as à gauche :

$\text{[math]}$

Quand tu multiplies par X^5, tu obtiens :

$\text{[math]}$

Non ? Parce que dans ce que tu as écrit il y a des $\text{[math]}$ partout hein, ça se simplifie déjà avant de multipliser l'équation par $\text{[math]}$

invite4905ac3b · 21/04/2009, 20h08

A trop réviser, je fais des erreurs bêtes...

Merci encore pour m'avoir aidé

[ et cette fois-ci, c'est bon ! ]

invite4905ac3b · 22/04/2009, 09h53

Envoyé par Dydo

$\text{[math]}$

Quand tu multiplies par X^5, tu obtiens :

$\text{[math]}$

Il faut bien retirer 1/X⁵, mais c'est par X⁴ (et pas X⁵)qu'il faut multiplier, pour isoler B. Donc reste 1/X - 1/X(X²+1) et re-division par zéro..

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