Resolution int Ln sin x
J'ai un petit probléme avec cette intégrale
I = ∫0à pi/2 ln sinx dx
Je remplace x par 2t afin d'avoir sin 2t
donc sin 2t = 2 sin t cos t ou même 2 sin T/2 cos T/2
j'ai ensuite 3 integrales or on me demande d'écrire que ceci est la somme de 3 intégrale avec I1/2= int ln 2 int ln sin ...........
mais je n'arrive pas à voir comment passer le 1/2 devant
Merci pour le petit coup de main.
Quand tu fais le changement de variables x=2t, donc dx=2dt :
-Attention au changement des bornes, qui deviennent 0 et pi
-L'intégrale devient I= Int [ln(2sintcost)]2dt, donc 1/2I=Int[ln(2sintcost)]dt
J'ajoute qu'il faut également vérifier que cette intégrale existe : ln(0) n'est pas défini.
Je sais bien mais j'ai effectué l'étude avant et donc réussi à démontréer qu'elle converge en 0Envoyé par ericcc
Donc si je conprends bien x= 2T dx= 2dt
d'ou l'int qui s'écrit int de f(ux)x'dt
c'est quoi ux ? et x' ?
Pardon c n'importe quo !!!
en faite on pause x=2T dx=2dt
d'ou x=0 t = 2*0 et x=0 t = 2*Pi/2 soit PI
on remplace dans l'int dx par 2dt
d'ou I1/2 int (0àPI) ln 2 + int 0à PI ln sin t dt + int (0 à PI ) ln cos t dt
c bon là
Oui, mais je pense que tu "poses", même si ton PC est en "pause"
et il manque un signe égale après I1/2...
effectivement arfff
Donc maintenant le but est de poser t= pi/2-U dans l'integrale ln cos t
pour se rapporter à un sin ???
et regrouper les 2 int ln sin t ( oupsss j'espére pas dire n'importe quoi !!!)
Il faut peut etre aussi couper les intégrales en 2, de 0 à pi/2 et de pi/2 à pi ?
Hum hum
donc
cos pi/2 - u devient sin u
u=pi/2-t mais aussi dt=pi/2-du j'ai le droit ça ???
les bornes de t = 0 devient Pi/2-0
t = pi devient pi/2-Pi = -Pi/2
là c pas bon c sur !! vait réflechir encore ....
Mais
cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB.
peu certainement m'aider ???
Pour éviter le Log en 0:
La première égalité par symétrie autour de pi/2, la seconde par changement de variable t=x/2, la dernière par symétrie autour de pi/4 pour l'égalité entre les deux intégrales en sin et cos.
Donc:
Donc enfin:
On contrôle que c'est cohérent avec a=pi/4.
Il ne reste plus qu'à faire tendre a vers 0.
Attention à bien justifier pour l'intégrale entre a et 2a !
Le probléme est que l'on me demande de resoudre int (0,PI/2) ln sin x
Pour la convergene on ma demandé dans une étape précédente de le démontrer avec 2x/pi < = sin x
apres avoir obtenu 1/2 I = int (0àPI) ln 2dt + int (0àpi) sin t dt + int (0àPI) cos t dt
je veux remplacer dans le cos t par t= pi/2 - u
je dois faire un changement de variabe ou je peux dire directement dire
int (??? ) sin u dt la je ne sais plus ??? j'ai du mal avec les bornes !!
car j'imagine que le but est de réunir les deux sin !!!
avec de dire que nous obtenons 2I
Le problème que je vois avec le remplacement brutal de t par pi/2-u c'est le fait que l'intégrale englobe le zéro :
Si on prend Int 0,Pi ln(cost) dt, je fais le changement de variable t=pi/2-u, donc u=pi/2-t, on a dt=-du (le terme constant disparait lors de la différenciation), et l'intégrale devient
Int pi/2,-pi/2 ln(sinu) -du, c'est à dire Int -pi/2,pi/2 ln(sinu)du, qu'on ne peut décemment pas écrire à cause du pôle en zéro
D'où ma suggestion de couper en deux, mais la méthode de Breukin est évidemment plus propre.
J'imagine mais je n'y peux rien c ma prof qui m'impose de le faire dans ce sens !!
on a le droit de dire ça ??
Je n'arrive pas à mettre les equations en formes comme dans word comment dois je faire ??
Oui tout à fait !
on a le droit de dire ça ??
Non mais je vois effectivement pas comment on peut faire sans passer par des bornes de pi/4 elle s'est peu être trompé non ??
En étant brutal et sans se préoccuper de la convergence en 0, et pour comprendre ce qui se passe :
Donc :
J'ai trouvé aussi ce resultat
cool mais en passant pas sin x = 2 cosx/2 sin x/2
changement de variable t=x/2
apres changement de variable pi/2- u dans le cos
d'ou un sin avec les bornes qui vont bien pour réunir avec l'autre sin
d'ou 2i et voilà !
