Sphere et géodésiques

[invite82fffb5c]

Bonjour à toutes et tous,

Voilà j'ai une petite question j'ai bien formulé le problème dans ma tête donc voilà la question :

Soit le repère sphérique (r,theta,phi) (notation classique) soit la courbe (C) tel que r=Constante et theta=f(phi). La courbe (C) décrit un diametre sur une sphere, donner l'expression de f ?

Le pourquoi je demande ça pour les curieux :
Je m'amuse à réaliser des projections de surfaces de sphere sur des plans 2D. Et j'observe les parallèle, les méridiens, les pôles, des points quelquonc sur mon plan. Je souhaite maintenant observer la géodésique qui passe par un couple de point quelconques (pas un couple pole/anti-pole !) comme je sais que ces géodésiques sont les grands diamètres, j'ai cherché leurs équations dans ma tête et sur le net mais n'ai malheuresement pas trouver (il est vraiment nul celui là !). Tous comme j'admets que l'équation y=a*x+b est la géodésique du plan cartésien, j'aimerais connaitre theta=f(phi) qui sera la géodésique de la sphere. Ensuite comme je sais que par deux points ne passe qu'une seule géodésique je pourrais identifier avec mes points.

J'ai bien compris que la géodésique est le chemin qui minimise la distance. J'imagine que le calcul doit ressembler à la recherche du minimum de l'intégral de ds avec mais je ne sais pas comment exprimer alpha ni beta (qui correspondrait dans ma tête à des dilatations/compression d'un repère cartésien). Ainsi je serais aussi intéressé par la démonstration permettant de trouver la fonction theta=f(phi) qui représente un diamètre. Et la justification que cela est bien une géodésique

Un petit exemple de projection sur le lien que j'ai fait, les points de la sphere (r=R,theta=-Pi..Pi,phi=0..Pi) deviennent (s,ThetaPrim) tel que et . Qui donne :
http://img105.imageshack.us/img105/4...aituncoeur.jpg
Merci,
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[invitea6f35777]

Slt,

Il me semble que si tu prend de coordonnées sphériques et alors les points du grand cercle qui passent par et sont de la forme:

pour . Ca paraît naturel étant donné que la projection de Mercator (cylindrique) conserve les géodésiques.

[invite82fffb5c]

Déjà merci beaucoup

Ecoute je vais essayé ce que tu me donnes, je suis d'accord que si ça passe par et qu'en ça passe par . Permet moi d'être septique car je ne vois pas comment, ni pourquoi cela serait un grand diametre. Pour exemple je constate qu'il doit exister une valeur de tel que :



Système qui conduit à ce qui est faux en général.
(Je développe le système recherchant la valeur \lambda' pour se situer 1 tour après ):




Ce qui parait impossible

Je tente quand même et encore merci pour cette réponse.

[invitea6f35777]

Oui excuse moi je crois que j'ai dit n'importe quoi Sinon j'ai une autre suggestion. Si un point est sur le grand cercle qui passe par et alors , et sont coplanaires. Et il est clair que:

est aussi dans ce plan.
Il existe donc tels que :

et on doit avoir:

Soit:

Bien sûr si et sont confondus ou antipodaux c'est dificile de définir une unique géodésique qui les rejoint.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6f35777]

Re

En fait en réfléchissant un peu plus j'ai prouvé que si un point de coordonnées sphériques qui se ballade sur un grand cercle de la sphère de rayon alors il existe tels que:

(J'ai testé et ça ma dessiné des grands cercles)
ca ne donne pas les méridiens mais sinon ça les donne tous.

[invitea6f35777]

Enfin je te laisse tester j'ai tendance à dire des bétises.

[invite82fffb5c]

Ecoute merci beaucoup je n'avais pas penser au fait que P appartient au plan décrit par OP1 et OP2. Avec ça et l'équation de la sphere je pense avoir tous ce qui me faut.

Je cherche mon équation général que je posterais après vérification.

Merci beaucoup,