Porblème Matrice

[singular]

Bonjour je rencontre quelques difficultés à répondre à la deuxième question d'un exercice d'algèbre, j'espère que vous pourrez m'aidez. Je vous mets ci-dessous l'énoncé et vous dit ce que j'ai déjà fait.

Pour tout entier n , on note l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n et, à tout polynôme de , on associe le polynôme l'application identité de et l'élément unité de .

A.Etude du cas n=3

Ce qui est en bleu est déjà fait
1)Montrer que, pour tout n , l'application est un endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique (1,X,X^2,X^3) est A.
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Mes réponses :

J'ai déjà montré que était un endomorphisme en montrant la linéarité de cette application et pour ce qui est de montrer que c'est un ''endo''morphisme je pose car d'après l'énoncé on déduit que donc je développe l'expression :[T_3(P)(X)[/tex] et j'obtiens :


pour la deuxième partie de la question :
pour dire que A est la matrice dans la base canonique de cet endomorphisme.

A=

J'ai posé :

et

J' ai cherché leurs images par l'endomorphisme pour obtenir sa matrice ( on a les vecteurs colonnes)


et j'ai bien obtenu la matrice A comme matrice de cette endomorphisme.
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Autre question :
Mais après on me demande et cela me pose problème:

Déterminer les nombres réels tels que ne soit pas bijective (autrement dit ne soit pas inversible). On notera ces réels , avec et déterminer un vecteur , base de , pour i=1,2,3,4.

Excusez moi trouverez vous que ça saute aux yeux la matrice , mais moi je n'ai pour l'instant que la matrice A qui est la matrice de l'endomorphisme

Je vous remercie.
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[KerLannais]

Slt

Si n'est pas inversible en tant qu'endomorphisme alors n'est pas inversible en tant que matrice et les noyaux et sont isomorphe par l'application linéaire qui envoie la base canonique de sur la base . C'est pour ça qu'on confond en général un endomorphisme et sa matrice dans une base, mais si on veux être très rigoureux il ne faudrait pas faire cet abus de langage ou du moins préciser qu'on fait un tel abus de langage. Ainsi la "matrice" n'est autre que la matrice .