Bonjour, je suis actuellement en classes préparatoires et j'aurai besoin dans le cadre de mon TIPE de résoudre rigoureusement l'équation différentielle (non linéaire) suivante :
1 + y'² - y*y'' = 0
Si quelqu'un a une idée de la façon dont je pourrai résoudre cette équation différentielle, je serai enchanté qu'il me la fasse parvenir, merci.
Envoyé par NbY
Bonsoir,
tu peux poser u=y' donc tu en tires
tu reportes dans ton équation et tu fais un nouveau changement de fonction inconnue z=u2
et après ça devrait aller tout seul
PS: je n'ai pas fait les calculs mais, dans un monde bien fait tu doit pouvoir t'en tirer en remontant la filière
Bonsoir,
Après avoir essayé de remonter le calcul, aprés moultes changements de variables et autres intégrations, j'arrive finalement à l'équation différentielle (équivalente il me semble) suivante :
y² - y'² = C, C étant une constante d'intégration arbitraire.
Je ne vois vraiment pas comment m'en sortir, aussi bien en couplant les équations qu'en essayant d'intégrer directement cette équation différentielle là. Si quelqu'un a une idée, je serai très heureux qu'il m'en fasse part.
Bonsoir,
je vais essayer de te remettre dans le droit chemin
Si tu as fait les 2 changements de fonctions que je t'ai proposés, tu arrives à l'équation suivante :
1+z-y.z'=0 ici on est bien d'accors que z est fonction de y
tu trouves facilement la solution particulière évidente
z0=-1 et la solution générale de l'équation homogène z1=C1y
donc ta solution est z=-1+C1y
tu reportes dans z=u2 donc
z=-1+ C1y = y'2
et si C1[TEX] diférent de 0 alors
donc tu intègres pour exprimer x en fonction de y.
Je te laisse étudier le cas pour C1=0ainsi que les autres problèmes d'éventuelle indétermination
Excusez-moi, mais j'ai une question, peut-on vraiment parler ici de solution particulière ? L'équation ici n'est pas linéaire il me semble.Bonsoir,
je vais essayer de te remettre dans le droit chemin
Si tu as fait les 2 changements de fonctions que je t'ai proposés, tu arrives à l'équation suivante :
1+z-y.z'=0 ici on est bien d'accors que z est fonction de y
tu trouves facilement la solution particulière évidente
z0=-1 et la solution générale de l'équation homogène z1=C1y
donc ta solution est z=-1+C1y
tu reportes dans z=u2 donc
z=-1+ C1y = y'2
et si C1[TEX] diférent de 0 alors
donc tu intègres pour exprimer x en fonction de y.
Je te laisse étudier le cas pour C1=0
bien sur que si puisque z est fonction de y. ici y devient la nouvelle variable!!!
Merci beaucoup pour cette réponse, ceci m'a été très utile, je n'aurai jamais pu trouver ça tout seul !
Ceci m'aidera beaucoup pour mon TIPE. A bientôt.
