Equation différentielle non linéaire

[invite552885fc]

Bonjour, je suis actuellement en classes préparatoires et j'aurai besoin dans le cadre de mon TIPE de résoudre rigoureusement l'équation différentielle (non linéaire) suivante :
1 + y'² - y*y'' = 0
Si quelqu'un a une idée de la façon dont je pourrai résoudre cette équation différentielle, je serai enchanté qu'il me la fasse parvenir, merci.
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[pepejy]

Bonjour, je suis actuellement en classes préparatoires et j'aurai besoin dans le cadre de mon TIPE de résoudre rigoureusement l'équation différentielle (non linéaire) suivante :
1 + y'² - y*y'' = 0
Si quelqu'un a une idée de la façon dont je pourrai résoudre cette équation différentielle, je serai enchanté qu'il me la fasse parvenir, merci.

Bonsoir,

tu peux poser u=y' donc tu en tires

tu reportes dans ton équation et tu fais un nouveau changement de fonction inconnue z=u²

et après ça devrait aller tout seul

PS: je n'ai pas fait les calculs mais, dans un monde bien fait tu doit pouvoir t'en tirer en remontant la filière

[invite552885fc]

Bonsoir,
Après avoir essayé de remonter le calcul, aprés moultes changements de variables et autres intégrations, j'arrive finalement à l'équation différentielle (équivalente il me semble) suivante :
y² - y'² = C, C étant une constante d'intégration arbitraire.
Je ne vois vraiment pas comment m'en sortir, aussi bien en couplant les équations qu'en essayant d'intégrer directement cette équation différentielle là. Si quelqu'un a une idée, je serai très heureux qu'il m'en fasse part.

[pepejy]

Bonsoir,
Après avoir essayé de remonter le calcul, aprés moultes changements de variables et autres intégrations, j'arrive finalement à l'équation différentielle (équivalente il me semble) suivante :
y² - y'² = C, C étant une constante d'intégration arbitraire.
Je ne vois vraiment pas comment m'en sortir, aussi bien en couplant les équations qu'en essayant d'intégrer directement cette équation différentielle là. Si quelqu'un a une idée, je serai très heureux qu'il m'en fasse part.

Bonsoir,

je vais essayer de te remettre dans le droit chemin

Si tu as fait les 2 changements de fonctions que je t'ai proposés, tu arrives à l'équation suivante :

1+z-y.z'=0 ici on est bien d'accors que z est fonction de y

tu trouves facilement la solution particulière évidente
z₀=-1 et la solution générale de l'équation homogène z₁=C₁y

donc ta solution est z=-1+C₁y

tu reportes dans z=u² donc

z=-1+ C₁y = y'²

et si C₁[TEX] diférent de 0 alors



donc tu intègres pour exprimer x en fonction de y.

Je te laisse étudier le cas pour C₁=0 ainsi que les autres problèmes d'éventuelle indétermination

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite552885fc]

Bonsoir,

je vais essayer de te remettre dans le droit chemin

Si tu as fait les 2 changements de fonctions que je t'ai proposés, tu arrives à l'équation suivante :

1+z-y.z'=0 ici on est bien d'accors que z est fonction de y

tu trouves facilement la solution particulière évidente
z₀=-1 et la solution générale de l'équation homogène z₁=C₁y

donc ta solution est z=-1+C₁y

tu reportes dans z=u² donc

z=-1+ C₁y = y'²

et si C₁[TEX] diférent de 0 alors



donc tu intègres pour exprimer x en fonction de y.

Je te laisse étudier le cas pour C₁=0 ainsi que les autres problèmes d'éventuelle indétermination

Excusez-moi, mais j'ai une question, peut-on vraiment parler ici de solution particulière ? L'équation ici n'est pas linéaire il me semble.

[pepejy]

bien sur que si puisque z est fonction de y. ici y devient la nouvelle variable!!!

[invite552885fc]

bien sur que si puisque z est fonction de y. ici y devient la nouvelle variable!!!

Merci beaucoup pour cette réponse, ceci m'a été très utile, je n'aurai jamais pu trouver ça tout seul !
Ceci m'aidera beaucoup pour mon TIPE. A bientôt.