bonjour,
j'aurais besoin d'un petit coup de main svp!
je dois calculer la limite quand x tend vers 0 de l'intégrale de (cos(t)/t)*dt. Les bornes de l'intégrale sont x et 2x.
J'aimerais encadrer cos(t)/t pour pouvoir appliquer le th des gendarmes mais je ne vois pas comment faire.
merci
d'une part, cos(t)/t est plus petit que 1/t
on trouve alors que ça tend vers ln2.
on souhaite confirmer ça, et il faut donc trouver une fonction plus petite.
pour voir apparaitre du ln, une fonction en 1/x parait une bonne solution.
et on voit que (1/t)-1 devrait convenir.
en fait ton raisonement est juste si x est positif mais si x est négatif l'inégalité qu'on obtient est fausse car on obtient -ln(2)>ln(2)... puis il me semble que sa tend vers 0 ce bidule là!Envoyé par Thorin
Tu devrais pouvoir démontrer que
1 - t²/2 <= cos(t) <= 1
on s'en tire par des questions de parité.
En fait il faut que je montre que (1-cos(t))/t²>1/2
je sais que la limite en 0 est égale a 1/2... mais je ne vois pas comment montrer que c'est toujours supérieur a 1/2. J'ai calculé la dérivé mais on peut pa faire grand chose!!
tu ne connais pas une formule de trigo avec du (1-cos(x))/2 ?
je connais 1-cos(2x)/2 je fais donc un changemen de variable alors?
c'est un peu pédant d'appeler ça un changement de variable...
C'est sur! mais on définit bien une variable en fonction d'une autre.
Franchemen j'arrive pas a avoir les variation de la fonction x--->cos(x)-1/x²!!!
(1-cos(t))/t²>1/2
4sin²(t/2)/t² >1
sin²(t/2)/((t/2)²) > 1
sin(t) > t
ce qui est vrai ...
et si t = 100000?
Euh, t'es sûr, là ?
Le plus simple pour montrer que cos(t) >= 1 - t²/2 est d'étudier la fonction cos(t) -1+t²/2 et de montrer qu'elle est toujours positive, quel que soit t.
Pour x suffisamment petit, cos 2x <= cos t <= 1 sur [0,2x], tout simplement !
c'est parce que j'ai bêtement recopié #6 et que j'ai meme pas regardé le résultat auquel j'arrivais ;
sin(t) < t
sin²(t/2)/((t/2)²) < 1
4sin²(t/2)/t² <1
(1-cos(t))/t²<1/2
cos(t)>1-t²/2
c'est quand même plus simple que l'étude de la fonction
Le plus rapide, c'est quand même de dire que entre 0 et 2x, donc entre x et 2x :
donc
donc
