arc de cycloïde

[invite105fa62e]

Bonjour,j'ai quelques problèmes avec cet exercice.
Question preliminaire : Exprimer 1 - cos(t) a l'aide de sin(t/2).

On note I l'arc de cycloïde admettant pour representation parametrique :
x(t) = t - sin(t) y(t) = 1 -cos(t) avec 0 inférieur ou égal à t qui est inférieur ou égal à 2pi.
1. Calculer le vecteur V (t), puis sa norme.
2. Quel est la longueur de I ?
3. En prenant le point M(0) pour origine de I et en orientant I dans le sens des t croissants,
quelle est s(t), l'abscisse curviligne de M(t) ?
4. Determiner le vecteur T au point M(t) et calculer sa derivee par rapport a t. Verifier qu'elle est orthogonale au vecteur T.
5. Determiner la courbure, le rayon de courbure et le vecteur N au point M(t). En deduire
les coordonnees de C(t), le centre de courbure au point M(t).
6. Determiner la courbe parcourue par C(t) quand t varie. Est-ce une cycloïde ?

merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.


Pour la question préliminaire : cos2a=1-2sin^2a

Donc : cost=1-2sin^2 t/2

1-cost=2sin^2 t/2
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[invite105fa62e]

le vecteur V(t) a pour coordonnées x'(t) et y'(t)

x'(t) = 1-cost
y'(t) = sint

et V² = x'² + y'² = (1-cost)² + sin²t = 2(1-cost) = 4sin²(t/2) d'où V(t) en prenant la racine positive

et alors s(t) =int_0^t V(x)dx =int_0^t 2sin (x/2)dx = 4(1-cos(t/2)