Suite periodique

[breukin]

Bon, si on prend l'hypothèse 2 du message #8 de Michel (mmy), avec parité sur n :

2) il faut comprendre a/2 comme la division euclidienne (et alors U₀ peut être impair)

alors l'expérimentation sur tableur montre que :
- si U₀<2a, la suite finit par alterner entre 2a–1 et a–1 (les couples {U_2n,U_2n+1} "croissent" vers {2a–1,a–1})
- si U₀>=2a, la suite finit par alterner entre 2a et a (les couples {U_2n,U_2n+1} "décroissent" vers {2a,a})
Mais ceci est toujours vrai sans condition de parité sur a.
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[invitede2ac8f6]

Bonjour à tous,
Après m'avoir rendu mon travail le prof m'a tout simplement dit qu'il avait fait une faute de frappe dans l'énoncé. Conclusion je dois refaire l'exercice avec la condition de parité sur le Un et non sur le n comme précédemment.
L'exercice est donc bien celui-là:

Soient a un nombre entier naturel impair et Un une suite de nombres entiers naturels, où U0 est choisi arbitrairement et

Un+1 = Un/2 si Un est pair
Un+1 = Un + a si Un est impair

Démontrer que Un est périodique à partir d'un certain Uk.

Si vous pouviez m'aider pour celui-là également...


PSsl pour le malentendu du premier exercice.

[invité576543]

Si vous pouviez m'aider pour celui-là également...

Indice : Montrer que si U_N est suffisamment grand (je ne précise pas la borne, faut la trouver) il y a nécessairement n>N tel que U_n<U_N.

Cordialement,

[invitec04351b8]

Bonjour,

il suffit que Uk soit bornée.

Une esquisse de démonstration possible :

soit Vk le résultat de la division euclidienne de Uk par 4.

La relation entre Uk et Vk n'a que 4 cas possible.

Pour chacun de ces 4 cas, on calcule explicitement Uk+2 en fonction de Vk et de a.

Résultat : si Uk+2 est supérieur à Uk, alors Uk est inférieur à une certaine fonction de a, donc Uk est borné ; si Uk+2 est inférieur à Uk, alors la fonction est bornée aussi.


Si U est borné (Um), alors, dans la suite de Uk à U(k+Um) au moins un nombre est présent 2 fois. La suite est donc périodique.

@+

[NicoEnac]

Si U est borné (Um), alors, dans la suite de Uk à U(k+Um) au moins un nombre est présent 2 fois. La suite est donc périodique.

Faux ! Ce n'est pas la définition de périodique. Ce n'est pas parce qu'on est sûrs de retrouver un nombre 2 fois qu'une suite est périodique. Comme contre-exemple, je rappelle la suite définie par U_n= n-ième décimale de Pi ou tout autre nombre irrationnel qui est bornée ([0;9]), mais qui n'est pas périodique.

Soit la formulation est inexacte soit incomplète.

[invitec04351b8]

Re,

on est dans la suite Uk de l'exercice.

Si Uk+p = Uk, alors Uk+p+1 = Uk+1

Ceci se généralise à toute suite d'entiers naturels de la forme

Uk+1 = f(Uk).

@+

[breukin]

Oui mais là, il y a un algorithme, qui par construction, si U_n=U_m, alors U_n+1=U_m+1.

[NicoEnac]

Au temps pour moi