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Suite periodique



  1. #1
    fade1234

    Suite periodique


    ------

    Je dois faire un exercice de math sur les suites mais je n'y arrive pas.
    exercice:
    Soient a un nombre entier naturel impair et Un une suite de nombres entiers naturels, où U0 est choisi arbitrairement et

    Un+1 = Un/2 si n est pair
    Un+1 = Un + a si n est impair

    Démontrer que Un est périodique à partir d'un certain Uk.

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    MMu

    Re : Suite periodique

    Utilise la récurrence ...

  3. #3
    fade1234

    Re : Suite periodique

    Déjà fait. J'ai tout développé jusqu'à n=13 mais j'arrive pas à trouver la récurrence. J'arrive pas à trouver Un=Un+p.
    Pour l'instant j'en suis à:
    U12= U0 / 64 + 63a/32
    U13= U0 / 128 + 63a/64

    On voit donc que le U0 tend vers 0 et que le terme de a varie entre <2 et <1 et tend avec alternance vers ces deux valeurs.
    Je comprend bien la récurrence mais je vois pas où se trouve la periode.

  4. #4
    danyvio

    Re : Suite periodique

    Je ne résouds pas le problème, mais apporte une réflexion éventuellement utile...

    Cas 1 : U0 pair peut s'exprimer comme 2k.I, I était un entier impair

    Cas 2 : U0 impair -> U1=U0+a est pair et on tombe dans le cas 1.

    Au bout de k divisions par 2, on arrive à I
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    NicoEnac

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Cas 2 : U0 impair -> U1=U0+a est pair et on tombe dans le cas 1.
    U1=U0/2 quel que soit le cas car Un+1=Un+a si n impair or pour le calcul de U1 n est pair

    EDIT : ta remarque irait pour un énoncé Un+1=Un/2 si Un pair et Un+1=Un+a si Un impair.

    D'ailleurs n'y a-t-il pas une erreur dans l'écriture de l'énoncé ? Car si U0 impair, on a U1 = U0/2 qui n'est plus un entier. S'il y eu erreur lors de la retranscription de l'énoncé, mes excuses à danyvio, son idée est bonne dans ce cas.
    Dernière modification par NicoEnac ; 12/05/2009 à 11h52.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  7. #6
    fade1234

    Re : Suite periodique

    NicoEnac, il n'y a pas de faute dans la retranscription du problème, c'est bien n qui est impair ou pair. Et je suis tombé sur la même conclusion que toi: U0 ne peut pas être impair. Après avoir demander à mon prof quelques explication il m'a dit que je devais restreindre les résultats possibles dans un intervalle et qu'en travaillant dans cette intervalle je trouverai une periode.

  8. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par fade1234 Voir le message
    Et je suis tombé sur la même conclusion que toi: U0 ne peut pas être impair.
    Cela n'a pas de sens d'imposer seulement U0 pair, il faudrait aussi imposer que pour tout n pair, Un est pair.

    Cela n'est pas vérifié par U0=4 et a=1 par exemple, qui pourtant vérifie bien U0 pair.

    Cordialement,

  9. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Cela n'a pas de sens d'imposer seulement U0 pair, il faudrait aussi imposer que pour tout n pair, Un est pair.
    Et c'est alors assez facile de montrer que la suite est périodique et même unique pour un a donné...

    Trois options me viennent à l'esprit:

    1) l'énoncé est incorrect

    2) il faut comprendre a/2 comme la division euclidienne (et alors u0 peut être impair)

    3) u2k pair pour tout k est imposé

    Dans le cas 2) on peut effectivement montrer que la suite est périodique à partir d'un certain rang (en étudiant u2k+2 si u2k est strictement plus grand que 2a)

    Cordialement,

  10. #9
    breukin

    Re : Suite periodique

    Il est clair que l'énoncé correct est :

    Un+1 = Un/2 si Un est pair
    Un+1 = Un+a si Un est impair

    Parce que si le test se fait sur n, et non Un, l'expression explicite de Un est aisée (tu as U12 et U13, facilement généralisables) et c'est clairement non périodique.

    Tandis qu'avec Un, il est facile de faire des exemples sous excel, ça marche systématiquement :
    - avec a=5 et U0=4, on trouve [4,2,1,6,3,8]...
    - avec a=7 et U0=6, on trouve [6,3,10,5,12]...
    - avec a=3 et U0=10, on trouve 10,5,8,[4,2,1]...

    Et on voit aussi que cela ne fonctionne pas pour a pair (parce qu'à force de diviser par deux, on tombe sur un impair, auquel on ajoute ensuite toujours un pair, donc ça croît indéfiniment en restant impair).

  11. #10
    danyvio

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    Et on voit aussi que cela ne fonctionne pas pour a pair (parce qu'à force de diviser par deux, on tombe sur un impair, auquel on ajoute ensuite toujours un pair, donc ça croît indéfiniment en restant impair).
    Que nenni ! On ajoute a, qui est impair selon l'énoncé, donc le résultat est pair. On se trouve bien dans un cas ressemblant à la conjoncture de Syracuse.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  12. #11
    NicoEnac

    Re : Suite periodique

    Quel énoncé bizarre...

    Résumons : U0 doit être pair pour que U1 soit calculable. De manière générale, Un avec n pair doit être pair pour que Un+1 soit calculable. On a aussi que Un ne doit pas être multiple de 4 :

    Un = 4.m avec m entier, n pair
    Un+1 = 2.m
    Un+2 = 2.m+a
    Un+3 = m+a/2 qui n'est pas entier...

    Alors je ne sais pas trop comment généraliser mais je sais qu'en tout cas, le cas particulier où a=U0/2 (avec a impair), fonctionne et est 2 périodique
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  13. #12
    breukin

    Re : Suite periodique

    Comment ça, que nenni ?
    Si U0 est pair, à force de diviser par deux, on tombe sur un nombre impair.
    En ajoutant a s'il était pair, on resterait impair, donc on continuerait de rajouter a et on tendrait vers l'infini, sans périodicité.
    Si U0 est impair, on est d'emblée dans le cas précédent.
    Vous avez mal lu mon mail, qui explique pourquoi la condition "a est impair" est une condition nécessaire pour que cela fonctionne.

    Résumons : U0 doit être pair pour que U1 soit calculable
    Non ! Si U0 est impair, on rajoute a (impair) pour obtenir U1.

    Résumons : si Un est pair, on divise par deux jusqu'à obtenir un Un+k impair ; si Un est impair on ajoute a (impair) donc on obtient Un+1 pair.

  14. #13
    breukin

    Re : Suite periodique

    La preuve que l'énoncé est faux, c'est que dans ce cas, on aurait les formules explicites (par récurrence):
    U2n=U0.2–n + 2a.(1–2–n) et U2n+1=U0.2–(n+1)+a.(1–2–n)
    Et donc il n'y a pas périodicité.
    La condition de parité porte sur Un et non sur n.

  15. #14
    breukin

    Re : Suite periodique

    En réécrivant :
    U2n=2a+(U0–2a).2–n et U2n+1=a+(U0/2–a).2–n
    on voit en fait qu'il y aurait périodicité seulement si U0=2a (suite triviale 2a,a,2a,a...).

  16. #15
    NicoEnac

    Re : Suite periodique

    C'est bien la première fois que quelqu'un prouve qu'un énoncé est faux ! Je suis d'accord que l'énoncé est bizarre voire faux (cf mon dernier message) donc je ne conteste pas ton point de vue breukin qui est sans doute valable mais je répondais à l'énoncé tel quel et surtout tel que fade1234, dépositaire de ce sujet et de l'exercice, nous a confirmé qu'il était.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  17. #16
    breukin

    Re : Suite periodique

    Mon message précédent démontre que sous l'hypothèse donnée (parité de n au lieu de parité de Un), alors ce qui est proposé d'être démontré (périodicité à partir d'un certain rang) est faux, sauf dans le cas très particulier où U0=2a.

  18. #17
    fade1234

    Re : Suite periodique

    Merci pour toute ses réponses.
    Si je résume, en gros, cette suite n'est pas periodique si la parité est sur le n, mais elle l'est si la parité est sur Un.
    Désolé de vous informer que la parité est bien sur le n et que donc l'énoncé n'est pas faux. Si mon prof m'a demandé :"Démontrer que Un est périodique à partir d'un certain Uk" et donc d'un certain rang, c'est que l'exercice est possible.
    Si U0=2a alors oui la periode est triviale mais dans ce problème il faut trouver, à mon avis, un terme général qui nous permette de trouver où se situe la periode selon le terme choisi pour U0 et/ou a. Mon prof m'a également conseiller d'essayer de restreindre la suite à certaines valeurs. Comme je l'ai dit dans un message précédant:

    U12= U0 / 64 + 63a/32
    U13= U0 / 128 + 63a/64

    On voit ici que le U0 tend vers 0 et que le terme a varie entre <2 et <1 et tend avec alternance vers ces deux valeurs.


    Merci de proposer autant d'idées cela m'aide beaucoup.

  19. #18
    MMu

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par fade1234 Voir le message
    Je dois faire un exercice de math sur les suites mais je n'y arrive pas.
    exercice:
    Soient a un nombre entier naturel impair et Un une suite de nombres entiers naturels, où U0 est choisi arbitrairement et

    Un+1 = Un/2 si n est pair
    Un+1 = Un + a si n est impair

    Démontrer que Un est périodique à partir d'un certain Uk.

    Merci d'avance
    Citation Envoyé par fade1234 Voir le message
    ... Désolé de vous informer que la parité est bien sur le n et que donc l'énoncé n'est pas faux ...
    Je ne comprends pas fade1234 , puisque tel quel l'énoncé est visiblement contradictoire :
    par exemple si U0 est impair (puisque U0 est choisi arbitrairement !) alors U1 n'est pas entier


  20. #19
    invité576543
    Invité

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par fade1234 Voir le message
    Comme je l'ai dit dans un message précédant:

    U12= U0 / 64 + 63a/32
    U13= U0 / 128 + 63a/64
    Oui, mais le message #1 dit que :

    Un une suite de nombres entiers naturels,
    Cela impose donc (entre autres) que U12 est entier, et donc que U0 + 126a est un multiple de 64, ce qui, déjà, est contradictoire avec, toujours du message #1

    U0 est choisi arbitrairement
    Continuons néanmoins... U0 + 126a est un multiple de 64 implique que u0=2a modulo 64, et en généralisant, on trouve U0=2a modulo toute puissance de 2. La seule valeur possible est U0=2a (suffit de fixer a, et de prendre la puissance de 2 suffisamment grande).

    La seule suite entière possible est donc celle de u0=2a, qui est bien périodique.

    Mais on est loin de "U0 est choisi arbitrairement".

    Cordialement,

  21. #20
    Lyonnais92

    Re : Suite periodique

    Bonjour,

    1) Un+1 est toujours calculable :

    si U0 est pair, U1 (=U0/2) est calculable

    si U0 est impair, U1 (=U0+a) est calculable (et U1 est pair)

    et c'est vrai pour tout rang supérieur.

    2) je suggère, plus que la récurrence, de démontrer que U est borné.

    Si c'est le cas, alors la périodicité est évidente. Soit N la borne. Alors, nécessairement, un au moins des nombres U1 à UN est égal à U0.

    Par contre, on doit pouvoir utiliser la récurrence pour démontrer que U est bornée. La borne doit être inférieure ou égale à U0+a (ou quelque chose de très proche, genre U0+2a).

    Bonne suite.

  22. #21
    breukin

    Re : Suite periodique

    Mais arrêtez, enfin !
    Si la parité porte sur n, alors la valeur explicite de Un est facilement calculable, comme indiqué plus haut :
    U2n=2a+(U0–2a).2–n et U2n+1=a+(U0/2–a).2–n
    On peut vérifier que cela fonctionne pour n=6 et calculer U12 et U13.
    Sauf si U0=2a, ceci ne sera jamais périodique à partir d'un certain rang.
    En effet, sinon, les deux suites U2n et U2n+1 sont simultanément strictement croissantes ou décroissantes vers les limites 2a et a, donc il ne peut pas y avoir de période paire (si la période est impaire, le double est une période impaire).

    En outre, le raisonnement n'a besoin d'aucune hypothèse sur a.
    En revanche, si la partité porte sur Un, alors l'hypothèse a impair est indispensable, ce qui est un indice plus que probant !

    Désolé fade1234:
    - soit il y avait une faute de frappe dans le livre sur lequel le professeur a trouvé l'exercice
    - soit ton professeur s'est trompé en recopiant l'exercice
    - soit tu t'es trompé en recopiant l'exercice correctement donné par le professeur

  23. #22
    invité576543
    Invité

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    Sauf si U0=2a, ceci ne sera jamais périodique à partir d'un certain rang.
    Sauf si U0=2a, ceci ne sera jamais entier à partir d'un certain rang. Et l'énoncé parle de suite de nombres entiers naturels.

    Cordialement,

    PS: Mais c'est une raison de plus pour penser que la conclusion de Breukin est très vraisemblable.
    Dernière modification par invité576543 ; 14/05/2009 à 07h50.

  24. #23
    Lyonnais92

    Re : Suite periodique

    Re,

    désolé, j'ai été trop rapide.

    La parité porte nécessairement sur U :

    si la parité porte sur n, comme 0 n'est ni pair ni impair, U1 n'est pas calculable.

    Et on ne peut pas modifier l'énoncé en partant de U1 car on n'est pas assuré que U2k est toujours pair (hypothèse nécessaire pour calculer U2k+1).

    Il faut donc modifier l'énoncé en ce sens.

    Quelques remarques complémentaires.

    - la borne est paire (par l'absurde, si la borne est impaire et atteinte au rang t, U t+1 est supérieur à la borne)

    - toute suite d'entier bornée est périodique

    - toute suite d'entier apériodique est non bornée (démonstration par l'absurde).

    @+

  25. #24
    Médiat

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par Lyonnais92 Voir le message
    comme 0 n'est ni pair ni impair
    , il me semblait que 0 = 2*0
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #25
    NicoEnac

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par Lyonnais92 Voir le message
    - toute suite d'entier bornée est périodique
    Je me trompe peut-être mais que dire de la suite d'entiers : Un= n-ième décimale de Pi ? Il me semble que c'est une suite d'entiers bornée (tous les Un sont entre 0 et 9) et pourtant pas de périodicité car Pi est irrationnel...

    Au passage, mes excuses à breukin dont le raisonnement est correct d'un bout à l'autre. Je me range dans son camp, il m'a convaincu.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  27. #26
    Lyonnais92

    Re : Suite periodique

    Re,

    Soient a un nombre entier naturel impair et Un une suite de nombres entiers naturels, où U0 est choisi arbitrairement et

    Un+1 = Un/2 si n est pair
    Un+1 = Un + a si n est impair

    Démontrer que Un est périodique à partir d'un certain Uk.
    Partons de l'hypothèse que 0 est pair.

    Alors U1 = U0/2.

    Pour que U1 soit un entier naturel, U0 doit être pair, ce qui est contradictoire avec "U0 choisi arbitrairement".

    Poursuivons avec U0 pair (U0=2*z).

    U1 = z

    z doit être impair. Sinon, z+a est impair et U2 n'est plus un entier.

    U2 = z+a

    De plus, (z+a)/2 doit aussi être impair (pour pouvoir calculer U3).

    Et ainsi de suite.

    Il est donc contradictoire soit avec la généralité sur U0 et a soit sur la suite d'entier naturel que la parité porte sur n.

    L'énoncé est donc incorrect.

    Faire l'hypothèse que la parité porte sur Un est, elle, compatible avc tout le reste.

    Ceci dit, même si 0=2*0, par convention, 0 n'est ni pair ni impair.

    @+

  28. #27
    Lyonnais92

    Re : Suite periodique

    Re,

    NicoEnac a parfaitement raison.

    Une formule de la forme "toute suite d'entier naturel de la forme Un+1=f(Un) ..." doit être plus juste.

    @+

  29. #28
    danyvio

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par MMu Voir le message
    Je ne comprends pas fade1234 , puisque tel quel l'énoncé est visiblement contradictoire :
    par exemple si U0 est impair (puisque U0 est choisi arbitrairement !) alors U1 n'est pas entier

    J'approuve sans réserve !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  30. #29
    Médiat

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par Lyonnais92 Voir le message
    Ceci dit, même si 0=2*0, par convention, 0 n'est ni pair ni impair.
    Citation Envoyé par Wikipedia
    Entiers naturels pairs = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} =
    Citation Envoyé par Wolfram's mathworld
    An even number is an integer of the form , where is an integer. The even numbers are therefore ..., , , 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

    Citation Envoyé par OEIS
    The even numbers: a(n) = 2n.
    0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,
    etc. Existe-t-il une source crédible parlant de cette convention (qui est contraire à l'arithmétique modulaire) ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  31. #30
    danyvio

    Re : Suite periodique

    Citation Envoyé par Lyonnais92 Voir le message
    Ceci dit, même si 0=2*0, par convention, 0 n'est ni pair ni impair.
    Glups
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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