fonction implicite

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai un exo sur les fonctions implicites dont je n´ai pu faire que la moitié. Le voici:

Soit f: R2 ->R telle que: f(x,y) = sin(y) + xy4 + x2
Soit U, un ouvert de R contenant 0.

Voilà la question que j´ai réussi à faire:

Montrer qu´il existe une fonction j: U -> R de classe Coo telle que pour tout x de U, j(x) est l´unique solution y de f(x,y) = 0.

Par contre pour la question suivante, je n´ai aucune idée par où commencer:
Donner une développement limité à l´ordre 6 de j.

Si quelqu´un a une idée...

Merci d´avance

Christophe
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[pat7111]

Par contre pour la question suivante, je n´ai aucune idée par où commencer:
Donner une développement limité à l´ordre 6 de j.

A partir de f(x, j(x)) = 0 on a

(Eq 1)

On fait x = 0 la dedans et, sans que je vois absolument comment eliminer les solutions en kPi, j(0) = 0 d'ou a l'ordre 0, j(x) = o(1)

Une methode bourrine est de deriver l'equation 1 et evaluer x en 0. On trouve j'(0) = 0 d'ou a l'ordre 1 j(x) = o(x)

En derivant une nouvelle fois je trouve et on peut envisager recommencer quatre fois de plus pour trouver les derivees successives de j et conclure par Taylor Lagrange.

Je me souviens qu'il y a une methode plus futee permettant de donner des DL a l'ordre 25 sans se taper toutes les derivees. En gros on reinjecte le resultat dans l'equation ce qui permet de trouver le DL a des ordres superieurs. Mais je m'emmele un peu dans les o() (et ai une certaine mauvaise conscience de ne pas faire avancer mon boulot aussi...)
Je soupconne qu'avec la puissance 4, l'ordre monte rapidement et que l'ordre 6 doit etre obtenu en une ou deux iterations max. C'est du sin que doit venir le j(x) mais la j'ai un o(j(x)) et je ne vois pas comment justifier que ce o(j(x)) rentre dans le o(x^n) et pas l'inverse... Bref, je suis un peu rouille par une quinzaine d'annee d'inactivite dans ce jeu la et je ne vois plus comment monter en ordre.

Si tu trouves, cela m'interesserais de revoir comment on faisait...

[invite9cf21bce]

Bonsoir.

j(x) est l´unique solution y de f(x,y) = 0.

Rien que là, je le trouve bien bizarre ton problème. Pour tout x<0.64 environ, l'équation f(x,y)=0 a plusieurs solutions.

Il n'y a pas de précision sur l'intervalle où l'on prend y ?

Taar.