Salut à tous !
Une petite question en passant : on affirme que le chemin le plus court entre 2 points sur une sphère est un arc de grand cercle de la sphère. Oui, OK, mais impossible de trouver une démonstration ...
Quelqu'un peut il m'en fournir une ?
Beaucoup merci
PS
Bonsoir Prof,
Ma preuve est basée sur :
1/ dans l'espace la ligne droite est le plus court chemin
2/ Les rotations sont des isométries.Elles conservent donc les longueurs des courbes
Soit A B deux points de la sphère et alpha l'angle au centre du cercle principal passant par A et B.
Pour n un entier donné, partageons l'arc AB en n arcs alpha/n . On obtient les points A, B1, B2....,Bn-1 et B sur l'arc AB.
Les n sous arcs ont tous la même longueur minimum! Car par rotation il est très simple de passer d'un sous-arc au suivant. Appelons an cette longueur élémentaire.
an= longueur mini de A à B/n
On peut écrire:
AB1 < an < alpha/n
donc
n*AB1<longueur mini de A à B < alpha.
Quand n tend vers l'infini les n cordes tendent vers les n minis arcs . Donc n*AB1 tend vers alpha.
Ce qui "prouve" que l'arc de cercle de A à B de longueur alpha est le trajet minimum
Bonsoir,
Il est possible de faire une démonstration cinématique:
Il faut écrire les accélérations du mouvement d'un point matériel sur la sphère, écrire que leus somme est nulle puis résoudre ce système différentiel.
Le résultat est tout les grands cercles de la sphère.
Comprendre c'est être capable de faire.
J'ai été un peu rapide dans la première affirmation:
an= longueur mini de A à B/n
Je vais procéder un peu différemment en montrant d'abord:
Si A et B sont les deux extrêmités d'un arc de grand cercle de mesure alpha et dont le milieu est J , alors la longueurminiAB est comprise entre 2*AJ et alpha.
Le plan de symétrie du segment AB coupe le chemin minimum en un point I. Ce point I est sur un grand cercle dans un plan orthogonal au plan [OAB]. Les chemins mini entre A et I puis I et B ont pour longueur longueurminiAB/2 (sinon je pourrais construire un chemin entre A et B de longueur inférieure à longueurminiAB )
Donc AI<longueurminiAB/2
De plus par pythagore il est assez simple de voir que AJ <= AI pour tout point I du grand cercle contenu dans le plan médiateur.
Il vient donc AJ < longueurminiAB/2< alpha/2.
Puis en multipliant les segmentations en 4, 8 16 , m=2exp(n) on obtient m segments de l'arc AB ,isométriques tous inférieurs à longueurminiAB/m eux-même inférieurs à alpha/m.
La longueur mini est encadrée par alpha et une somme de segments qui tend vers alpha. Ce qui prouve que l' arc AB est un chemin minimum
