Définition d'une distance : temps nécessaire au trajet

[invite7553e94d]

Bonjour.
Imaginons une surface plane (finie ou non). Et imaginons une fonction qui à deux points de cette surface associe le temps minimum nécessaire à rejoindre les deux points (ce n'est pas très rigoureux comme définition, imaginez que la surface en question soit une carte géographique, le temps nécessaire pour aller d'une ville à une autre n'est pas uniquement fonction de la distance, mais aussi des moyens de transports disponibles par exemple).

J'aurais aimé qu'il soit possible de définir un plan image (par une fonction ) du précédent tel que la distance entre deux points et du plan image soit . Autrement dit, faire une carte temporelle.

Mais j'ai trouvé plusieurs cas (cas de ) pour lesquels cela n'est pas possible, par exemple s'il est plus rapide de parcourir un cercle que son rayon. J'aurais aimé savoir pourquoi en règle général, quelles sont les conditions pour que cela soit possible ..?

Existe-t-il une branche des mathématiques qui traite de ce problème ?
Merci à tous.
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[invite7553e94d]

Voici un exemple par la SNCF :

[invite7553e94d]

Bonjour, personne pour me donner son avis ?

[acx01b]

salut

si on raisonne en terme de graphe, on considère un graphe complet à 4 noeuds avec des longueurs d'arrêtes quelconques : il a très peu de chances de pouvoir être représenté comme ça

3 noeuds a,b,c, 3 arrêtes (a,b),(a,c),(b,c) => on connait les longueurs des 3 arrêtes de notre triangle, pas beaucoup de façons de le représenter (à une homotéthie près)

ensuite notre 4ième point d, considérant les arrêtes (a,b),(a,d),(b,d), aucune raison qu'il puisse être inséré à l'une des 2 positions possible tout en respectant la distance (c,d)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7553e94d]

Mais pourtant, le long d'une droite, c'est possible. Et le raisonnement par graphe ne me semble pas pertinent, car on perd la notion de continuité qui est l'argument premier en faveur pour la faisabilité d'une telle "carte".

[acx01b]

ce que je t'ai dit c'est juste que si tu as un graphe complet à 4 noeuds inclu dans ta carte (ce qui est le cas dans la carte sncf par exemple), alors c'est à peu près sûr que tu ne pourras pas la représenter

je ne vois pas en quoi la continuité arrange quelque chose (ce que je propose c'est de discrétiser la carte, et de se poser la question si oui ou non le graphe obtenu est représentable)