Bonjour,
Je cherche à prouver que le groupe des permutations d'un quadrilatère intrinsèque est D8. Il est défini par :
Un quadrilatère Q comprend 4 objets nommés sommets (1, 2, 3, 4) et 4 objets.
nommés côtés (A, B, C, D) unis par des conditions d'incidence telles que tout
sommet appartient à deux arêtes, toute arête contient deux sommets, le sommet
1 est voisin des sommets 2 et 4, etc.
Merci
Salut,
En fait, ton quadrilatère intrinsèque c'est un carré parce que si tu prend un rectangle, l'ensemble des permutations contient moins d'éléments que D8 (me trompe-je?)
On peut effectivement faire le parallèle entre le carré et le quadrilatère intrinsèque en remplacant groupe des isométries avec groupe des permutations. Pour la démonstration, j'avais justement envie de m'appuyer sur celle du carré avec les isométries mais ce qui me dérange c'est la définition de quadrilatère intrinsèque sur laquelle m'appuyer.
Re
Tu dis que deux sommets sont adjacents s'ils sont reliés par un côté. Une permutation du quadrilatère c'est une permutation de ses sommets (une bijection sur l'ensemble de ses sommets) avec la condition que l'image d'un couple de sommets adjacents est un couples de sommets adjacent. Les hypothèses que tu donnes suffisent à définir un unique graphe (au nom des arêtes près) tu n'as pas besoin du etc. Le sommet 1 est forcément l'extrémité de 2 arêtes distinctes, disons A et B, l'arête A a forcément une autre extrémité, disons le sommet 2, l'arête B a donc pour autre extrémité le sommet 4 par hypothèse. Du sommet 2 part un autre arête qui n'est ni A ni B, disons l'arête C et qui ne peut pas relier le sommet 4, sinon toute arête partant du sommet 3 ne peut pas avoir de deuxième extrémité sachant que dans ce cas toutes les sommets 1,2 et 4 ont déjà leur bon nombre d'arête. Donc C relie 2 et 3 et nécessairement D relie 3 et 4. En fait il s'agit toujours du graphe non orienté:
A partir de là il est facile d'énumérer une par une les permutations et de voir qu'on tombe sur D8 (pour faire pédant on peut utiliser l'arsenal de la théorie des groupes, mais bon faut pas exagérer quand même).
Les permutations qui envoie le sommet 1 sur lui même sont:
le sommet 2 est forcément envoyé sur lui même ou sur 4, le sommet 4 est alors envoyé sur lui même et sur 2 respectivement et le sommet 3 doit être invariant ca donne donc deux permutations
et
ensuite on regarde les permutations qui envoient 1 sur 2, puis 1 sur 3 et 1 sur 4, on en trouve 2 à chaque fois. La théorie des groupes (la formule au classes si elle n'a pas d'autre nom) nous dit que ce n'est pas étonnant et qu'on aurait pu être plus rapide dans l'analyse.
