Applocations linéaires et matrices

[invite0f34eb03]

Bonjour,

Voilà, j'aurais une petite question sur les AL et les matrices, en prenant un exemple :

On a f l'AL de R4 dans R3 :
f(x,y,z,t) = (x-y+z+t, x+2z-t, x+y+3z-3t)
Trouver une base de Imf et Kerf.

Pour l'espace image, on calcule les images des vecteurs de la BC, et ils engendreront Imf, donc :

f(1,0,0,0) = (1,1,1) = e₁+e₂+e₃
f(0,1,0,0) = (-1,0,1) = -e₁+e₃
f(0,0,1,0) = (1,2,3) = e₁+2e₂+3e₃
f(0,0,0,1) = (1,-1,-3) = e₁-e₂-3e₃

La matrice de f dans la BC est donc :

(1 -1 1 1)
(1 0 2 -1) <->
(1 1 3 -3)

(1 -1 1 1)
(0 1 1 -2)
(0 0 0 0)

Deux pivots, dimIm=2 ? Comment on en sort une base ?

Par contre, je crois que si on met les images des vecteurs de la BC en ligne, ça marche à coup sûr pour trouver une base, mais je trouve moins pratique, un truc du genre ça :

(1 1 1)
(-1 0 1) <->
(1 2 3)
(1 -1 -3)

(1 1 1)
(0 1 2)
(0 0 0)
(0 0 0)

On en déduit que (1,1,1) et (0,1,2) forment une base de Imf. (ça c'est sûr à priori, mais bon, une confirmation fera pas de mal ^^')

Par contre, on doit exprimer les coordonnées finales en fonction des vecteurs de la base initiale pour étudier la matrice, ou juste les coordonnées ?
Ex au pif : {u1,u2,u3} une base.
f(u1) = (1,0,3) = 2u1 - 3u2
f(u2) = (0,5,6) = 3u1 - 2u2 + u3
f(u3) = (1,2,1) = u1+u3
Doit on considérer la matrice :

(1 0 3)
(0 5 6)
(1 2 1)

ou celle là :

(2 -3 0)
(3 -2 1)
(1 0 1)

Les valeurs que j'ai prises sont totalement arbitraires, c'est juste "pour voir".

Bon, après, pour le Ker, suffit d'étudier le système x-y+z+t = 0, x+2z-t = 0, et x+y+3z-3t = 0, donc pas de soucis à priori.

Mais pour les Imf, ça reste flou sur certaines méthodes. :/

Merci !
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[IkenB]

En effet, ta base pour Im(f) est bonne. Cependant, pour avoir une base de cet espace il te suffit d'avoir 2 vecteurs linéairement indépendants qui soient dedans. Tu prends par exemple (1,1,1) (= f(1,0,0,0)) et (-1,0,1) (=f(0,1,0,0)).
Quant à la matrice que tu dois étudier, si je ne dis pas de bêtise, ça revient au même, la seule chose que ça changera, c'est la base dans laquelle seront exprimés tes vecteurs de base de Im(f) et de Ker(f) à la fin.
Cordialement,
IkenB.