Exo matrices et appli linéaires

[inviteb9246c22]

Slt! J'ai un exo en maths à résoudre mais je n'arrive pas à le faire. Donc je vous soumets le problème et espère que quelqu'un pourra m'aider et m'expliquer surtout.
Voici le problème:
Résoudre le système suivant, en discutant suivant les valeurs du paramètre m:
mx+y+z=1
x+my+z=1
x+y+mz=m

Voilà. Je vous remercie d'avance. @++
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[Flyingsquirrel]

Salut

Et si tu mettais le système sous forme matricielle ? (Vu le titre de la discussion ça ne doit pas être une mauvaise idée )

[inviteb9246c22]

Slt! Que veux-tu dire par là? Il faut dire que le cours sur les matrices et la résolution de systèmes est difficile pour moi à comprendre, même si beaucoup de monde peut trouver cela facile. C'est pour cela que j'ai besoin qu'on m'explique un peu plus. En tout cas, je te remercie de bien vouloir m'aider C cool!

[Flyingsquirrel]

Normalement tu as dû voir qu'un système comme celui peut s'écrire sous la forme AX=Y où et et où A est une matrice 3x3. Il faut d'abord déterminer A puis étudier dans quels cas elle est inversible (déterminant nul ?), on peut alors exprimer les solutions sous la forme X=A^-1Y.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb9246c22]

Eh bien d'après ce que j'ai compris du cours, on a ici affaire à une matrice carrée 3x3 comme tu le dis. Donc ce que j'avais dans l'idée de faire, c'est d'utiliser la méthode du pivot de Gauss pour pouvoir résoudre le système. Alors je ne sais pas si cela est valable, car j'ai un peu de mal avec cette méthode.

[Flyingsquirrel]

Si, si c'est valable. Par contre, l'intérêt de passer par les matrices et le calcul du déterminant de A est qu'il est plus facile de trouver les valeurs de m pour lesquelles on ne peut pas résoudre le système. Ceci dit, on va aussi les trouver en résolvant avec la méthode du pivot de Gauss.

[invite57a1e779]

Si, si c'est valable. Par contre, l'intérêt de passer par les matrices et le calcul du déterminant de A est qu'il est plus facile de trouver les valeurs de m pour lesquelles on ne peut pas résoudre le système. Ceci dit, on va aussi les trouver en résolvant avec la méthode du pivot de Gauss.

En additionnant les trois équations, on obtient immédiatement .

Si , la relation permet de réécrire le système sous la forme

dont la résolution est élémentaire.

Si le système est

dont la résolution est tout aussi élémentaire, la troisième équation étant, au signe près, la somme des deux première.

[inviteb9246c22]

C'est encore moi. Je comprends tout à fait la première ligne de ton calcul. Simplement, je ne vois absolument pas comment tu fais pour déduire les nouveaux systèmes que tu as déduit à partir de l'addition des 3 équations. Peux-tu m'expliquer?

[invite57a1e779]

C'est encore moi. Je comprends tout à fait la première ligne de ton calcul. Simplement, je ne vois absolument pas comment tu fais pour déduire les nouveaux systèmes que tu as déduit à partir de l'addition des 3 équations. Peux-tu m'expliquer?

Si , il suffit de remplacer par dans le système proposé.
Si , il suffit d'écrire et de remplacer par 1, et de faire de même pour les autres équations.

[inviteb9246c22]

Oh ok je comprends mieux. Par contre, est-ce que tu peux vérifier que tu ne trouves aucune solution pour le 2ème système parce que c'est ce que je trouve et aussi apparemment, je trouve une infinité de solutions pour le 1er système si m=1 ou si m est différent de 1, x=y=z ?
Je te remercie en tout cas pour ton aide précieuse. Je commence à comprendre un peu mieux

[invite57a1e779]

Si
fournit
– une solution unique si : en divisant les équations par ;
– une indétermination totale si puisque les équations se réduisent toutes à , et tout triplet est solution.

Si le sous-système en des deux premières équations

a pour solutions , donc les solutions du système initial sont les , quelconque.

[inviteb9246c22]

Oki. Je te remercie infiniment pour ton aide