Question de dérivabilité

[citron_21]

Bonjour,
j'avais une question dont la réponse me semblait auparavant évidente... Est-ce qu'il existe une fonction f dérivable en 0 alors que la fonction f' n'est cependant pas continue en 0 ?
Par exemple, on définit la fonction :

f(x)=xⁿ.sin(1/x), pour x réel non nul
f(0)=0

(avec n un entier naturel différent de 0 et 1)

J'ai tout d'abord calculé la dérivée définie sur R*.
J'ai ensuite montré par encadrement que lorsque x tendait vers 0 (à gauche et à droite), la dérivée tendait vers 0.
Donc j'imagine que l'on peut prolonger par continuité la fonction f', en posant f'(0)=0, pour affirmer que f est dérivable en 0.

Cependant, les 2 questions de mon exo sont distinctes :
1) Démontrer que f est dérivable en 0.
2) La fonction f' est-elle continue en 0 ?

A priori, toute fonction dérivable en 0 est nécéssairement continue en 0.

Merci de votre aide !
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[Thorin]

Un théorème du cours donne directement la dérivabilité de f en 0, à partir du moment où la fonction f est continue en et 0, et où la dérivée tend vers 0 en 0. On en conclut ensuite évidemment la continuité de la dérivée.

(ca se démontre avec le théorème des accroissements finis)

[ericcc]

Cependant pour répondre à ta question, il existe des fonction dérivables en 0, dont la dérivée n'admet pas de limite en 0.
Par exemple f(x)=x²sin(1/x) est dérivable en zéro : la limite de f(x)/x est 0.
Sa dérivée est f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) qui n'admet pas de limite en zéro.
Dans le cas de ta fonction pour x>2 la dérivée tendra vers zéro

[Thorin]

une fonction f dérivable en 0 alors que la fonction f' n'est cependant pas continue en 0

Il s'agit simplement de la nuance entre une fonction dérivable et une fonction de classe ...je suppose que tu ne te dis généralement pas que C1 et dérivable, c'est pareil ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[citron_21]

D'accord, je vois.
Mais est-ce que ce n'est valable qu'en 0 ?
La fonction f(x)=x.sin(1/x) est bien prolongeable par continuité en 0, mais sa dérivée n'est pas continue en 0 (pas de limite à gauche et à droite). ce qui empêche la continuité de la dérivée.
Mais dans mon cas, la fonction est bien prolongeable par continuité, et la dérivée admet une même limite à gauche et à droite en 0.
Mais alors, pourquoi ne pas généraliser ceci en tout point a de l'intervale de définition d'une fonction f :

Une fonction f est dérivable en un point a∈I si et seulement si :
- f est continue en a (ou prolongeable par continuité en a)
- f' est continue en a (ou prolongeable par continuité en a)

J'imagine que le théorème dont Thorin parlait est celui qui démontre la non-dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0 (non continuité de la dérivée à gauche et à droite de 0).

Merci d'avance...

[citron_21]

Cependant pour répondre à ta question, il existe des fonction dérivables en 0, dont la dérivée n'admet pas de limite en 0.
Par exemple f(x)=x²sin(1/x) est dérivable en zéro : la limite de f(x)/x est 0.
Sa dérivée est f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) qui n'admet pas de limite en zéro.
Dans le cas de ta fonction pour x>2 la dérivée tendra vers zéro

D'accord, mais donc peut-on généraliser, dès lors que la fonction est continue en un point et que la dérivée est continue en ce même point, alors la fonction est dérivable en ce point ? Y-at'il équivalence ?

Merci d'avance

[citron_21]

Il s'agit simplement de la nuance entre une fonction dérivable et une fonction de classe ...je suppose que tu ne te dis généralement pas que C1 et dérivable, c'est pareil ?

Oui, d'accord. mais pour montrer l'existence d'une dérivée en un point, je suis bien obligé de prolonger la fonction f' par continuité, et je montre donc par en même temps la continuité de f'.

[ericcc]

D'accord, je vois.
Mais est-ce que ce n'est valable qu'en 0 ?
La fonction f(x)=x.sin(1/x) est bien prolongeable par continuité en 0, mais sa dérivée n'est pas continue en 0 (pas de limite à gauche et à droite). ce qui empêche la continuité de la dérivée.
Mais dans mon cas, la fonction est bien prolongeable par continuité, et la dérivée admet une même limite à gauche et à droite en 0.
Mais alors, pourquoi ne pas généraliser ceci en tout point a de l'intervale de définition d'une fonction f :

Une fonction f est dérivable en un point a∈I si et seulement si :
- f est continue en a (ou prolongeable par continuité en a)
- f' est continue en a (ou prolongeable par continuité en a)

J'imagine que le théorème dont Thorin parlait est celui qui démontre la non-dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0 (non continuité de la dérivée à gauche et à droite de 0).

Merci d'avance...

Je te suggère de regarder de près le cas n=2, en particulier regarde si ta dérivée admet une limite en zéro ?

[Thorin]

Une fonction f est dérivable en un point a∈I si et seulement si :
- f est continue en a (ou prolongeable par continuité en a)
- f' est continue en a (ou prolongeable par continuité en a)

grosse embrouille.

J'affirme plusieurs choses, en tas :

-dérivabilité de f implique continuité de f
-dérivabilité de f n'implique pas continuité de f'
-une fonction continue dérivable sur , telle que , est alors dérivable en a, de dérivée égale à la limite précédente, et la dérivée est alors continue en a.
-si un théorème est vrai en 0, il est en règle général vrai en tout réel, par la composition avec une translation.

[citron_21]

D'accord, merci à vous 2.
Pour ce que disait Ericcc, j'ai bien étudié le cas n=2, et je constate que f' n'admet aucune limite en 0. donc f n'est pas dérivable en 0, et bien évidemment f' n'est pas continue en 0.

mais mon problème est celui soulevé par Thorin : je ne vois pas pourquoi l'implication suivante est fausse :

"f dérivable en a" => "f' continue en a"

pour moi, "f dérivable en a" nécessite que "f' soit continue en a" par définition

désolé si cette question vous paraît sans interêt...

merci d'avance

[Thorin]

nan, la dérivabilité de f nécessite la continuité de f, pas de f ' !

Si c'est par définition, explique un peu en quoi la définition de la dérivée oblige à la continuité de la dérivée, démontre ton affirmation.

[citron_21]

Voici mon raisonnement:

Pour qu'une fonction soit dérivable en un point (par définition) il faut :
- continuité de f
- lim_x<a(f')=lim_x>a(f')

c'est ce qui explique pourquoi la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 : il y a bien continuité de f en 0, mais la limite de f' n'est pas la même selon que l'on s'approche de 0 par la gauche ou par la droite.

Pour moi, cette deuxième hypothèse est équivalente à la continuité de f' en a.
Ou je fais une erreur de raisonnement, ou quelque chose m'échappe...

[citron_21]

et d'ailleurs, pour ce que disait Ericcc, le fait que f' n'ait pas de limite en 0 lorsque n=2 montre quoi exactement ?
que f n'est pas dérivable en 0 ou que f' n'est pas continue en 0 ?

[Thorin]

Voici mon raisonnement:

Pour qu'une fonction soit dérivable en un point (par définition) il faut :
- continuité de f
- lim_x<a(f')=lim_x>a(f')

Ca, c'est correct, c'est ce que j'appelle le théorème de la limite pointée.

Mais la réciproque est fausse

La définition de la dérivée, c'est :
limite quand x tend vers a de (f(x)-f(a))/(x-a), mais ce n'est pas pareil que lim_x->a(f') !
En effet, lim_x<a(f')=lim_x->a (lim_y->x (f(y)-f(x))/(y-x))

D'une part on a une limite de limite, d'autre part, on a juste une limite.
Aucune raison que l'on puisse a priori, par définition, dire que c'est pareil.

donc, pour affirmer une équivalence, il faudra la prouver, elle ne vient pas de la définition.

Et, cf le célèbre contre exemple x²sin(1/x), l'équivalence est fausse.

[citron_21]

Cependant pour répondre à ta question, il existe des fonction dérivables en 0, dont la dérivée n'admet pas de limite en 0.
Par exemple f(x)=x²sin(1/x) est dérivable en zéro : la limite de f(x)/x est 0.
Sa dérivée est f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) qui n'admet pas de limite en zéro.
Dans le cas de ta fonction pour x>2 la dérivée tendra vers zéro

Ah ! je viens enfin de comprendre pourquoi vous parliez de f(x)/x.
on ne peut conclure sur la dérivabilité de f, que par l'existence du nombre dérivé de f en a. Même si la limite de f' n'est pas la même à gauche ou à droite, ou même si elle n'existe pas, cela n'empêche pas la fonction d'être dérivable en a.
Ca paraît bizarre sur le plan intuitif, mais je m'en ferai une raison ^^

Merci beaucoup à vous 2...

[Thorin]

et d'ailleurs, pour ce que disait Ericcc, le fait que f' n'ait pas de limite en 0 lorsque n=2 montre quoi exactement ?
que f n'est pas dérivable en 0 ou que f' n'est pas continue en 0 ?

Ca montre que f' n'est pas continue en 0
f est dérivable en 0 car le taux d'accroissement entre 0 et x a une limite finie quand x tend vers 0 : f(x)/x est égal à xsin(1/x), ce qui tend vers 0 en 0, donc, par définition, la fonction est dérivable en 0

[ericcc]

Ah ! je viens enfin de comprendre pourquoi vous parliez de f(x)/x.
on ne peut conclure sur la dérivabilité de f, que par l'existence du nombre dérivé de f en a. Même si la limite de f' n'est pas la même à gauche ou à droite, ou même si elle n'existe pas, cela n'empêche pas la fonction d'être dérivable en a.
Ca paraît bizarre sur le plan intuitif, mais je m'en ferai une raison ^^

Merci beaucoup à vous 2...

Voilà voilà tu as compris