Equa.diff et Fourier

[invite7cd6668c]

Bonjour a tous ,
On se propose de résoudre une équa-diff via la théorie de Fourier :

f: IR --> IR , de classe C^2 , et 2 pi -périodiques.

(E) : f '' (x) + f(x) = cos^3 (x)
Ma stratégie était la suivante:

1)écrire la série de fourier de cos^3(x) ( rapide en utilisant l'égalité cos(x)= 1/2 (e^ix + e^-ix)

2)utiliser les relations liant les coeff de fourier de f a ceux de f '' plus précisement : c_{n}( f '' ) = n^2 c_{n}(f) pour tout n dans Z.
Ensuite d'écrire la somme de la série de Fourirer de f et celle de f ''

3) d'égaler l'expression obtenue en 1 ) avec celle en 2 ).

C'est dans ce dernier point que je coince notamment avec les coeff c-{-1} et c_{1}.
En effet j'aboutis a une absurdité en devant écrire
(1- 1^2 ) c_{-1} ( f ) = 3/ 8 i.e 0* c_{-1} ( f ) = 3/ 8
Merci de m'aiguiller !
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[invitea6f35777]

Salut,

C'est parce que en faisant ça tu suppose qu'il existe une solution -périodique ce qui est faux d'après tes calculs. En fait on a

et non pas

de sorte que

[invite7cd6668c]

désolé je ne comprend pas :$ ...MErci de m'aider

[invitea6f35777]

Re

Tu suppose qu'il existe une solution -périodique à ton équation et tu arrives à une absurdité. La seule chose que tu as montré c'est que ton équation n'admet pas de soltution -périodique (c'est ce qu'on appelle un raisonnement par l'absurde).

exemple: je suppose que est un nombre réel solution de

alors

des nombres réels dont le cube est il n'y en a qu'un seul c'est:

mais alors
Non c'est impossible, c'est juste que cette équation n'a pas de solution réelle car son discriminant est négatif

La relation que tu utilises entre les coefficients de Fourier de et n'est valable que si est périodique sinon:


ce n'est égal à

que si et pas de chance pour toi, il n'y a pas de solution de cette équation qui vérifie ça.
Soit une fonction de dans de classe qui vérifie pour tout

je définis une fonction par

alors





On en déduit qu'il existe des constantes et telles que

et donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7cd6668c]

oui merci je n'avais pas saisi sur le coup mais maintenant c ok !
merci pour ton post tout de meme.
on peut noter cependant que pour que l'équation :
admette une solution périodique il faut et suffit que les coefficents soient nuls.
MErci tout de même