algèbre linéaire

inviteabec3e28 · 29/05/2009, 21h35

Bonjour à tous, j'aimerai que l'on m'éclaircit sur cet exercice.

Soit E= $\text{[math]}$ espace de polynômes de degré inférieur ou égale à 3. On considère l'application suivante de E dans lui-même:

$\text{[math]}$

1) Démontrer que $\text{[math]}$ est une application linéaire de E dans lui-même.
2) Trouver le polynôme caractéristique de $\text{[math]}$ .
3) Trouver les valeurs propres de $\text{[math]}$ .
4) Trouver les sous-espaces propres de $\text{[math]}$ en donnant une base de chaque sous-espace.
5) Est-ce que $\text{[math]}$ est diagonalisable ? Justifier la réponse.
6) Est-ce que $\text{[math]}$ est inversible?
7) Trouver le polynôme minimal de $\text{[math]}$ .

Merci à ceux qui pourront m'aider, m'indiquer des pistes.

invite7ffe9b6a · 29/05/2009, 23h29

Bonjour, qu'as-tu fait? Où bloques-tu?

inviteabec3e28 · 30/05/2009, 00h26

la premiere question j'ai fait ceci:
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux réels et soit p(x) et g(x) deux éléments de $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ p(x)) + $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ p(x)) = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ (p(x)) + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ (p(x)) appartient bien à E
Donc $\text{[math]}$ est une application linéaire de E dans lui-même.

Pour la question 2) je bloque.

invite7ffe9b6a · 30/05/2009, 00h50

On peut chercher la matrice représentative de $\text{[math]}$ dans la base canonique de E et poursuivre l'exercice avec la matrice

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteabec3e28 · 30/05/2009, 13h24

en fait c'est sa que je n'arrive pas à faire car une fois que j'ai la matrice, les questions d'après devraient s'enchaîner.
Peut-tu m'aider à la trouver ?
Merci, cordialement.

invite7ffe9b6a · 30/05/2009, 13h31

Quelle est la base canonique de E ?

invitec1ddcf27 · 31/05/2009, 03h00

Bonsoir,

il n'y a pas de base imposée, prenons la base canonique $\text{[math]}$

On calcule

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Et donc

$\text{[math]}$

La matrice est déja diagonale... le reste de l'exercice n'a donc aucun intérêt ! Les valeurs propres sont sur la diagonale. Le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique. Elle est inversible...

L'endomorphisme est bien

$\text{[math]}$

????

invitec317278e · 31/05/2009, 08h12

Ta matrice n'est pas diagonale, justement !

le 1, le 2, et le 3, ne sont pas sur sa diagonale !

invite899aa2b3 · 31/05/2009, 09h50

Bonjour.
Thorin a raison il y a encore du travail. Pour le polynôme caractéristique pas de problème: on doit calculer le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure. Le reste sauf la dernière question en découle.
Pour le polynôme minimal on cherche le plus petit entier $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ étant l'application nulle.

invitec1ddcf27 · 31/05/2009, 12h26

en effet à trois heures du matin, on n'est pas très clairvoyant... je voulais dire trigonale... enfin ca change pas grand chose ! il y pas grand chose à faire

invitec1ddcf27 · 31/05/2009, 12h40

Le polynôme caractéristique est

$\text{[math]}$

Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1. C'est l'ensemble des polynomes constants.

La matrice n'est donc pas diagonalisable.

Le polynome minimal est

$\text{[math]}$

L'endormorphisme $\text{[math]}$ est inversible.

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