algèbre linéaire
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algèbre linéaire



  1. #1
    inviteabec3e28

    algèbre linéaire


    ------

    Bonjour à tous, j'aimerai que l'on m'éclaircit sur cet exercice.

    Soit E= espace de polynômes de degré inférieur ou égale à 3. On considère l'application suivante de E dans lui-même:



    1) Démontrer que est une application linéaire de E dans lui-même.
    2) Trouver le polynôme caractéristique de .
    3) Trouver les valeurs propres de .
    4) Trouver les sous-espaces propres de en donnant une base de chaque sous-espace.
    5) Est-ce que est diagonalisable ? Justifier la réponse.
    6) Est-ce que est inversible?
    7) Trouver le polynôme minimal de .

    Merci à ceux qui pourront m'aider, m'indiquer des pistes.

    -----

  2. #2
    invite7ffe9b6a

    Re : algèbre linéaire

    Bonjour, qu'as-tu fait? Où bloques-tu?

  3. #3
    inviteabec3e28

    Re : algèbre linéaire

    la premiere question j'ai fait ceci:
    Soient et deux réels et soit p(x) et g(x) deux éléments de :
    (p(x)) + (p(x)) = (p(x)) +(p(x)) appartient bien à E
    Donc est une application linéaire de E dans lui-même.

    Pour la question 2) je bloque.

  4. #4
    invite7ffe9b6a

    Re : algèbre linéaire

    On peut chercher la matrice représentative de dans la base canonique de E et poursuivre l'exercice avec la matrice

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inviteabec3e28

    Re : algèbre linéaire

    en fait c'est sa que je n'arrive pas à faire car une fois que j'ai la matrice, les questions d'après devraient s'enchaîner.
    Peut-tu m'aider à la trouver ?
    Merci, cordialement.

  7. #6
    invite7ffe9b6a

    Re : algèbre linéaire

    Quelle est la base canonique de E ?

  8. #7
    invitec1ddcf27

    Re : algèbre linéaire

    Bonsoir,

    il n'y a pas de base imposée, prenons la base canonique

    On calcule






    Et donc



    La matrice est déja diagonale... le reste de l'exercice n'a donc aucun intérêt ! Les valeurs propres sont sur la diagonale. Le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique. Elle est inversible...

    L'endomorphisme est bien



    ????

  9. #8
    invitec317278e

    Re : algèbre linéaire

    Ta matrice n'est pas diagonale, justement !

    le 1, le 2, et le 3, ne sont pas sur sa diagonale !

  10. #9
    invite899aa2b3

    Re : algèbre linéaire

    Bonjour.
    Thorin a raison il y a encore du travail. Pour le polynôme caractéristique pas de problème: on doit calculer le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure. Le reste sauf la dernière question en découle.
    Pour le polynôme minimal on cherche le plus petit entier tel que , étant l'application nulle.

  11. #10
    invitec1ddcf27

    Re : algèbre linéaire

    en effet à trois heures du matin, on n'est pas très clairvoyant... je voulais dire trigonale... enfin ca change pas grand chose ! il y pas grand chose à faire

  12. #11
    invitec1ddcf27

    Re : algèbre linéaire

    Le polynôme caractéristique est



    Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1. C'est l'ensemble des polynomes constants.

    La matrice n'est donc pas diagonalisable.

    Le polynome minimal est




    L'endormorphisme est inversible.

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