Continuité du produit scalaire

[J.M.M]

Salut,
mon questioon est : pourquoi le produit scalaire est continue ?
merci d'avance
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[bubulle_01]

Car il est bilinéaire. (Si on parle d'espace pré-hilbertien réel bien sûr)

[invite7ffe9b6a]

Bonjour,

L'inegalité de Cauchy-Schwartz donne

[J.M.M]

je vois pas le lien désolé
est-ce la caractérisation séquentielle de la continuité?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

Bonsoir,

eh bien les deux messages précédent permettent de répondre... Tu dois savoir qu'une application linéaire entre deux espaces normé est continue ssi elle est continue en 0 ss'il existe tel que



Pour les application multilinéaire, tu peux montrer le même résultat. A savoir est continue ss'il existe telle que



Tu peux le vérifier en utilisant la caractérisation de la continuité par les suites.

Lorsque E et F sont des Banach, on peut aussi montrer grace au théorème de Banach-Steinhaus que la continuité d'une application bilinéaire est équivalente a la continuité par rapport à chacune de ses variables !

[invitec1ddcf27]

Enfin plus simplement, si tu veux juste montrer que ton produit scalaire est continue.
Soit E un espace normé. Le produit scalaire est définie sur . Avant de parler de continuité, il serait de bon ton de mettre une norme sur ce produit !!! Par exemple, je prend



Soit . Considérons une suite de qui converge vers . Pour avoir la continuité, il suffit de montrer que tend vers lorsque n tend vers l'infini. Par bilinéarité, on a



Avec l'inégalité triangulaire et l'inégalité de Cauchy-Schwartz rappelée plus haut, il vient



Il est facile de voir que et que ||y_n -y_0||_E tendent vers zéro. Et que ||x_n || est une quantité bornée. Je te laisse le faire. Et donc



D'où la continuité du produit scalaire.

[J.M.M]

Enfin plus simplement, si tu veux juste montrer que ton produit scalaire est continue.
Soit E un espace normé. Le produit scalaire est définie sur . Avant de parler de continuité, il serait de bon ton de mettre une norme sur ce produit !!! Par exemple, je prend



Soit . Considérons une suite de qui converge vers . Pour avoir la continuité, il suffit de montrer que tend vers lorsque n tend vers l'infini. Par bilinéarité, on a



Avec l'inégalité triangulaire et l'inégalité de Cauchy-Schwartz rappelée plus haut, il vient



Il est facile de voir que et que ||y_n -y_0||_E tendent vers zéro. Et que ||x_n || est une quantité bornée. Je te laisse le faire. Et donc



D'où la continuité du produit scalaire.

merciiiiiii beaucoup