Analyse complexe

[invitebdec96e1]

Bonjour,

j'aimerai savoir si l'équivalence :


vraie pour

l'est aussi pour ?

Ou du moins, un ouvert de où une détermination du log est valide.

Merci.
-----

[invitea6f35777]

Salut,

Oui, c'est vrai pour tout , en fait, comme

et qu'on s'intéresse seulement à la limite on peut supposer que

par exemple, on peut donc supposer être dans une zone ou la détermination principale du log est bien définie (elle est même analytique dans ce cas) comme toute les autres déterminations qui sont définies sur un voisinage de 1. Le dl classique de log(1+u) est alors parfaitement valable pour u complexe puisque le développement en série entière existe et est le prolongement du développement en série entière sur l'intervalle réel ]1/2,3/2[ par unicité du prolongement analytique. Le calcul de l'équivalent est donc en tout point identique.

[invitea6f35777]

Ah oui j'oubliai, le fait que le log soit analytique vient justement du fait que si on prend le développement en série entière réel, et qu'on considère le rayon de convergence du développement en série entière complexe qui a les même coefficients, on voit qu'on est en plein dans la zone de convergence et qu'on a bien un prolongement analytique (et donc LE prolongement analytique) du log sur le disque.