Formes differentielles fermees non exactes - exemples a trouver

invite947ee6e5 · 02/06/2009, 17h03

Bonjour,
je dois resoudre l'exercice suivant :

Soit O l'ouvert de R^3:
$\text{[math]}$ { $\text{[math]}$ }.
Trouver un exemple de forme differentielle de degre 1, fermee mais non exacte sur O.
Est-il possible de trouver 2 formes fermees $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sur O telles que pour tout $\text{[math]}$ − {0} la forme $\text{[math]}$ n'est pas exacte ?

Deja, pour touver l'exemple, je n'y arrive pas. J'essaie d'adapter l'exemple classique sur $\text{[math]}$ − {0}
$\text{[math]}$ , en gardant le meme denominateur pour satisfaire les conditions de definitions de l'ouvert O, et en ajoutant un z ou dz au numerateur, mais je tatonne sans reelement trouver grand chose.
Avez-vous des pistes ?
De meme, pour la 2eme question, sur l'existence des 1-formes, j'ai du mal a voir..

Merci de votre aide

invite9cf21bce · 03/06/2009, 01h11

Bonjour.

Ça fait plaisir ce genre de problème...

Envoyé par neurone en panne

Deja, pour touver l'exemple, je n'y arrive pas. J'essaie d'adapter l'exemple classique sur $\text{[math]}$ − {0}
$\text{[math]}$ , en gardant le meme denominateur pour satisfaire les conditions de definitions de l'ouvert O, et en ajoutant un z ou dz au numerateur, mais je tatonne sans reelement trouver grand chose.

L' "adaptation" la plus simple qui soit marche, je crois...

Envoyé par neurone en panne

De meme, pour la 2eme question, sur l'existence des 1-formes, j'ai du mal a voir..

Techniquement, O est du type d'homotopie du cercle. Donc $\text{[math]}$ est de dimension 1 et la réponse est non (à moins que l'antiquité de mes souvenirs me laisse complètement à côté de la plaque).

Mais bon, c'est peut-être un peu brutal (surtout si tu n'as pas vu la cohomologie de De Rham)... Vu la teneur du problème (et du type d'homotopie), tu peux peut-être essayer en coordonnées cylindriques ?

Taar.

invite947ee6e5 · 03/06/2009, 02h50

Bonjour !

Merci pour ta réponse. J'ai qques questions cependant :
Qu'entends-tu par "adaptation la plus simple" ? Veux-tu dire :
$\text{[math]}$ , c'est à dire, indépendante de la troisième coordonnée z ? Et qui reste fermée et non exacte qd on passe de $\text{[math]}$ à mon ouvert O...

inon, non, je ne suis pas sensée utiliser la cohomologie de de Rham..Que veux-tu dire par "essayer en coordonnées cylindriques" ?

Merci !

invite9cf21bce · 04/06/2009, 23h12

Envoyé par neurone en panne

Bonjour !

Merci pour ta réponse. J'ai qques questions cependant :
Qu'entends-tu par "adaptation la plus simple" ? Veux-tu dire :
$\text{[math]}$ , c'est à dire, indépendante de la troisième coordonnée z ? Et qui reste fermée et non exacte qd on passe de $\text{[math]}$ à mon ouvert O...

inon, non, je ne suis pas sensée utiliser la cohomologie de de Rham..Que veux-tu dire par "essayer en coordonnées cylindriques" ?

Merci !

Bonsoir.

J'ai été long à répondre, mais j'avais du boulot, désolé...
Je pense que depuis ton message, tu as constaté qu'effectivement, $\text{[math]}$ répond à ton premier problème.

Attaquons le second, je te donne les grandes lignes...

Soit $\text{[math]}$ une 1-forme fermée sur $\text{[math]}$

La première idée est que tu peux voir $\text{[math]}$ comme réunion de deux ouverts $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ connexes simplement connexes ; sur chacun d'entre eux, $\text{[math]}$ est exacte et s'écrit :

$\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ;
$\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

Par contre, il est en général impossible de recoller les fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , même en ajoutant des constantes. C'est dû à la nature non simplement connexe de $\text{[math]}$ .

De fait, $\text{[math]}$ n'est pas globalement exacte. L'histoire de $\text{[math]}$ montre qu'il va exister une droite vectorielle de 1-formes fermées, $\text{[math]}$ , telle que toute forme fermée $\text{[math]}$ s'écrit $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ .

En quelque sorte, la dimension de $\text{[math]}$ (ici 1) mesure à quel point les formes fermées sont différentes des formes exactes (c'est la codimension des formes exactes dans les formes fermées).

La conséquence, ici, c'est que deux formes fermées sont colinéaires (à une forme exacte près), et la réponse au problème posé est non.

Du concret, maintenant. Une possibilité est de passer en coordonnées cylindriques, c'est rigolo, ça ne mange pas de pain, et en plus, ça marche (je viens d'y passer un petit bout de temps, je ne suis pas un spécialiste...).

Mon but ici est de montrer directement qu'une forme fermée $\text{[math]}$ s'écrit $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ , ce qui suffit à notre bonheur ( $\text{[math]}$ étant la forme déjà vue).

Sois $\text{[math]}$ . Tu considères l'application $\text{[math]}$ qui à $\text{[math]}$ associe le point correspondant $\text{[math]}$ en coordonnées cylindriques. C'est un difféo local mais pas global, surjectif. Le pullback $\text{[math]}$ est alors une 1-forme fermée sur $\text{[math]}$ .

Concrètement, tu prends (jacobienne de $\text{[math]}$ ) :

$\text{[math]}$

où :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

(où $\text{[math]}$ désigne $\text{[math]}$ )

Il est facile de voir que $\text{[math]}$ est fermée. Comme $\text{[math]}$ est un pavé, $\text{[math]}$ est exacte et s'écrit $\text{[math]}$ .

Le problème est qu'on ne peut pas descendre $\text{[math]}$ en une fonction définie sur $\text{[math]}$ . Autrement dit, en général, il n'existe pas de fonction $\text{[math]}$ définie sur $\text{[math]}$ et telle que $\text{[math]}$ .
Ceci est dû essentiellement au fait que $\text{[math]}$ n'est pas $\text{[math]}$ -périodique en $\text{[math]}$ .

On a cependant (en inversant la jacobienne) :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Il est facile de voir que ceci implique que :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ainsi, $\text{[math]}$ n'est pas $\text{[math]}$ -périodique, mais sa différentielle, si.

Posons $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ diffèrent d'une constante $\text{[math]}$ . Autrement dit :

$\text{[math]}$

Pour obtenir une fonction globale qui soit $\text{[math]}$ -périodique, il suffit donc de poser :
$\text{[math]}$
où $\text{[math]}$

Il existe alors une fonction $\text{[math]}$ définie sur $\text{[math]}$ dont $\text{[math]}$ soit le pullback :
$\text{[math]}$
(ceci définit globalement $\text{[math]}$ ; localement, $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ ; donc $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ )

En réinjectant, on trouve sans trop d'effort :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ceci prouve que $\text{[math]}$

Taar.

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