Endomorphisme involutif

[MS.11]

Bonsoir,

j'étudie un endomorphisme involutif : f² = fof = Id_E

On me demande de montrer que :
Ker(f-Id_E) et Ker (f+Id_E) sont supplémentaires dans E et que la somme est directe.

Pour la somme directe j'ai montré que :
si un vecteur x de E appartient à l'intersection des deux ensembles alors f(x)=0_E (c'est-àdire x élément de Ker f)

f(x)=0_E
f(f(x))=f(0_E)=0_E car f est linéaire
Puis comme f² = Id_E on en déduit x=0_E.

Donc intersection réduite à l'élément nul : somme directe.

Pouvez vous me confirmer que ceci est juste et me donner une piste pour montrer que les ensembles sont supplémentaires :

E = Ker(f-Id_E) + Ker (f+Id_E)

Merci d'avance.
-----

[invite7ffe9b6a]

Bonsoir

Un element de x de E peut s'ecrire.

[invite899aa2b3]

Bonsoir.
Pour montrer que la somme est directe on écrit

[invite7ffe9b6a]

Bonsoir.
Pour montrer que la somme est directe on écrit

ou 2f(u)=0 en sommant les 2.

Donc u=f²(u)=0.

C'est le raisonnement qu'il a fait, tout aussi valable (dans les corps de caracteristique differente de 2...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[MS.11]

Merci bien Antho07 !!!
Merci aussi à girdav qui a validé ma démo pour montrer que la somme est directe.

Je vais essayer de montrer l'implication réciproque : c'est à dire que les ensembles supplémentaires impliquent f²=id.

En cas de gros souci je reviens vous voir ^^

[MS.11]

Euh, en fait je vois pas comment passer aux noyaux en partant de l'indice de Antho...

j'obtiens du f(x)-x=0 => f=Id pour que ce soit valable pour tout x...
f(x)+x=0 => f=-Id

enfin je m'embrouille un peu... est-ce que je dois expliciter les noyaux de f+/- Id ?

[invite899aa2b3]

En fait dans la somme qu' Antho a écrite il y a un terme dans et l'autre dans . Reste à trouver lequel.

[MS.11]

Oui ça je l'ai bien vu le premier membre de la somme fait partie de f+Id (facteur 1/2) et l'autre de f-Id (facteur -1/2). Mais les termes ne font pas partie des noyaux si ?

[invite7ffe9b6a]

Il faut faire le calcul:



donc

[MS.11]

1/2 (f(x)+x) élément de Ker ( f - Id ) ???

Je crois avoir compris

[MS.11]

Bonsoir, je pense avoir montré ce sens de l'implication, avec

x= (f(x)+x)/2 - (f(x)-x)/2

où le premier membre est élément de Ker(f-Id) et le second membre élément de Ker(f+Id).

Par contre je ne vois pas comment montrer l'implication réciproque :

Ker(f+Id) (+) Ker(f-Id) = E (somme directe)

=> f²=Id

Merci d'avance pour votre aide.

[invite7ffe9b6a]

Bonsoir, je pense avoir montré ce sens de l'implication, avec

x= (f(x)+x)/2 - (f(x)-x)/2

où le premier membre est élément de Ker(f-Id) et le second membre élément de Ker(f+Id).

Par contre je ne vois pas comment montrer l'implication réciproque :

Ker(f+Id) (+) Ker(f-Id) = E (somme directe)

=> f²=Id

Merci d'avance pour votre aide.

Soit


Puisque



Il existe un unique et un unique tels que



donc





Donc on a montré que



soit que

[MS.11]

Merci beaucoup Antho.

J'étais parti sur l'intersection vide et la somme des dimensions égale dim de E. J'aurais pu chercher longtemps. :s

[MS.11]

Bonsoir,

on me demande d'interpréter géométriquement la transformation f (où f est l'endomorphisme involutif) lorsque E= IR 3

Je ne comprends pas vraiment ce que l'on entend par interprétation géométrique. En plus je n'ai rien de trop précis à part les dimensions.

je sais que dim (Ker(f-Id)) + dim (Ker(f+Id)) = 3
Je sais aussi que dim Ker f + rg f = 3

Mais je ne vois pas quoi faire avec tout ça...

[xelyx]

Bonsoir,
En fait on demande de donner les exemples concrets qui ont inspirer la généralité! C'est assez biaisé comme procédé pédagogique

Il faut donc trouver une application linéaire tirée de la géométrie élémentaire dans RxRxR qui est involutive!
Il y a les demi-tours autour d'une droite, les symétries orthogonales par rapport à un plan, la symétrie v---> -v
Et essayer de comprendre le sens de (f(x)+x)/2 et de (f(x)-x)/2 dans ces cas concrets

[xelyx]

Mais l'intérêt de la question est de trouver qu'il existe des involutions ,dans R3, un peu plus générales . Des symétries "non orthogonales"