Endomorphisme

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour,

je commence mon cours d'algèbre linéaire et je comprends pas les morphisme, notamment l'endomorphisme.

J'ai là un exemple : où P est un polynôme quelquonque, de degré "n" quelquonque, et P' son polynome dérivé. ha est l'application, et X est l'application de degré 1 de la base canonique de E, espace vectoriel ou E = Pn(X).

Je crois comprendre que un endomorphisme est une application de E dans E. Mais je me demande:
1- comment le démontrer ?
2- comment et qu'est ce qui le justifie ?

Merci d'avance.
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[inviteb4d8c3b4]

Ha oui, j'ai une troisième question :
3- comment montre-t-on que le noyau et l'image de l'application sont en somme directe ?

Merci encore

[erff]

Un endomorphisme f de E est une application linéaire de E dans E.

Exemple : une symétrie axiale dans le plan (on prend un vecteur du plan qui devient un autre vecteur du plan)

- Pour le montrer :
Il faut montrer que f est définie (que les f(x) atterrissent bien tous dans E)
Il faut montrer que f est linéaire

comment montre-t-on que le noyau et l'image de l'application sont en somme directe ?

Attention c'est rarement le cas !

Mais en général, pour montrer que 2 sous espaces de E, F et G sont en somme directe, il faut montrer qu'ils n'ont aucun vecteurs en commun, à part 0.
Il faut montrer que pour tout x dans E, x=a+b où a est dans F et b dans G...

[inviteb4d8c3b4]

Merci ERFF !

Corrigez moi si je me trompe :

j'ai écris que le polynôme P peut se dissocier en P1 et P2 et alors:

ha(P1+P2) = a(P1+P2)-X(P'1+P'2) = aP1+aP2-XP'1-XP'2
= aP1-XP'1 + aP2-XP'2 = ha(P1) + ha(P2)

puis:

ha(kP) = akP - XkP'
k.ha(P) = k(aP - XP') = akP - XkP' = ha(kP)

Voilà, je pense que là, j'ai démontré la linéarité !? Reste plus qu'à dire que c'est de E dans E ! Ca doit être avec le noyau mais je vois pas trop

[A voir en vidéo sur Futura]

[erff]

Ok pour la linéarité.

Pour dire que c de E dans E, il suffit de montrer que ha(P) est un polynome de degrés <= n...ce qui prouve que ha(P) est dans IRn[X]...pas besoin d'aller chercher le noyau ou autre truc.