Formes différentielles fermées dans C

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, j´ai une petite question sur les formes différentielles fermées.

Je lis dans mon cours que si w est une forme différentielles fermée admettant des dérivées partielles, alors les conditions de Green-Riemann sont vérifiées, à savoir:



Puis comme exemple de forme différentielles fermée mais pas exacte dans C*, il prennent dans le même cours la forme différentielle

Mais d´après mes calculs on a alors:



Ce qui est logique puisque 1/z est holomorphe sur C*

Il y a ce "-" qui gène...

Ya donc quelquechose qui m´échappe...

Merci d´avance
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[God's Breath]

Tu confonds, les notations :
– la forme différentielle est fermé si et seulement si ...
– la fonction est holomorphe si et seulement si ...

Ce ne sont pas les mêmes et dans les deux cas.
Si tu écris , alors qu'il faut mettre sous la forme ...
Tu as d'une part, et de l'autre...

[christophe_de_Berlin]

Merci de cette précision, mais alors du coup, je dois faire un retour en arrière et m´apercevoir que quelquechose m´échappe, que je croyais avoir compris: Si j´écris


, alors qu'il faut mettre sous la forme ...

Alors les P1 et Q1 sont des nombres complexes, et alors il me semble que ça ne correspond pas à la définition d´une forme différentielle... je confond tout? je veux dire la chose suivante:
w est par définition une application continue de C dans l´ensemble des applications linéaires continues de C sur IR. Donc si on écrit:

w = P₁.dx + Q₁.dy,

il me semble que P₁ et Q₁ doivent être des réels, et pas des complexes...
Or si je pars de ce que tu as écris, P₁ et Q₁ sont des complexes...

Oh quelle horreur! C´est une partie du programme que je croyais avoir enfin comprise...

[God's Breath]

Attention, tu as ici des formes à valeurs complexes : la forme différentielle est définie sur , et à valeur dans l'ensemble des applications -linéaires de dans lui-même.
Je vois mal comment une forme définie par pourrait conduire à des valeurs uniquement réelles...

[A voir en vidéo sur Futura]

[christophe_de_Berlin]

Bon, excuses moi, mais du coup je suis obligé de remonter aux définitions pour piger vraiment, et alors seulement tu pourras me dire où est l´erreur:

1) w est une forme différentielle de C, c´est à dire:
w: C -> L(C,R)
Pour tout z₀ de C, w(z₀) est une forme linéaire de C, i.e. une application linéaire de C dans IR.

2) Soit cette application linéare, que j´appelle w_z0
Pour tout z = x + y.i de C, j´ai:
w_z0 (z) = w_z0 (x + y.i) = x.w_z0 (1) + y.w_z0 (i)

3) J´appelle
- w_z0 (1) = P(z₀)
- w_z0 (i) = Q(z₀)

J´ai alors: w_z0 (z) = P(z₀)(x) + Q(z₀)(i)

Si je remplace z par dz et x par dx et y par dy, j´obtient:
w_z0 (dz) = P(z₀).dx + Q(z₀).dy

P(z₀) et Q(z₀) sont des formes différentielles linéaires, donc à valeurs dans IR non?

Me goure-je?

[christophe_de_Berlin]

euh, pardon, dans le 3) je me suis gouré (décidément...)
je voulais dire:

j´ai alors: w_z0(z) = P_z0.x + Q_z0.y

[God's Breath]

Si tu considères l'application , définie de dans lui même, sa différentielle est une application de dans : pour tout , est une application -linéaire de dans lui-même définie par .

Si tu considères l'application , définie de dans lui-même, sa différentielle est une application de dans : pour tout , est une application -linéaire de dans lui-même définie par .

Tu remarqueras que est non seulement -linéaire, mais aussi -linéaire : est holomorphe ; alors que est seulement -linéaire, mais pas -linéaire : n'est pas holomorphe.

Ta forme est bien une application définie de dans : pour tout , est l'application -linéaire définie de dans lui-même par .

[christophe_de_Berlin]

Donc ma définition d´une forme linéaire, comme quoi w est une application de C dans l´ensemble des applications de C dans R, cette définition donc est fausse? Je croyais que c´est toujours comme ça.

[christophe_de_Berlin]

Donc ma définition d´une forme linéaire, comme quoi w est une application de C dans l´ensemble des applications de C dans R, cette définition donc est fausse? Je croyais que c´est toujours comme ça.

[christophe_de_Berlin]

OK, je viens de relire mes définitions. Effectivement, une forme différentielle est à valeurs dans l´ensemble des formes linéaires, c´est à dire que w(z₀) n´est pas forcément à valeurs dans IR, il peut être à valeurs dans C.

Mais il y a quand même quelquechose qui me chiffonne, excuses moi d´insister...

Une forme différentielle d´un espace vectoriel E est une application continue de E dans l´ensemble des formes linéaires de E, i.e. dans l´ensemble des applications linéaires de E dans son corps de référence IK. Donc si w est une forme différentielle de E et z₀ un élément de E, w(z₀) est une application IK-linéaire de E dans IK.

Comme C est une espace sur le corps IR mais aussi sur le corps C, en reprenant les mêmes notations, w(z₀) est ou bien une application IR-linéaire de C dans IR, ou bien une application C-linéarire de C dans C.

Toi tu parles d´une applications IR-linéaire de C dans C. Y a de nouveau quelquechose qui m´échappe.

Excuse moi de nouveau d´insister: Chez nous en Allemagne on dit: "Le diable se cache derrière les détails".

[God's Breath]

Nous ne devons pas avoir les mêmes définitions.

J'ai toujours utilisé celle de Cartan, et je m'en suis toujours bien porté.

Je cite Henri Cartan, Formes différentielles, Paris, Hermann, 1967, p. 21 :
Dans tout ce qui suit, désigne un ouvert d'un espace de Banach , et un espace de Banach. On observeral que (espace des applications -linéaires continues et alternées ) est un espace de Banach, puisque c'est un sous-espace vectoriel fermé de l'espace de Banach .
DEFINITION. On appelle forme différentielle de degré définie dans , à valeurs dans , une application ;
[On dit aussi, pour obréger : -forme différentielle définie dans , à valeurs dans .]
Cas particuliers. Une forme différentielle de degré 0 n'est pas autre chose qu'une fonction . Une forme différentielle de degré 1 est une application .

************

Cette définition n'envisage absolument pas (malgré le terme de forme) que l'espace soit le corps sur lequel sont définis les espaces vectoriels.
On peut donc travailler sur le corps , et considérer . La valeur est alors une application -linéaire de dans lui-même.

[christophe_de_Berlin]

OK, j´ai vérifié cette définition sur Wiki, il y est question d´application d´une espace vectoriel sur l´espace des formes linéaires. Je vais vérifier tout ça.

Je te remercie pour ta patience...