Racines n-ièmes

[inviteb086628f]

bonjour
voila j'ia un probleme de comprehension^^
l'exercie est:
On définit le polynome P(X)=1/2i((X+i)^5-(X-i)^5)
1.donner la définition et les expressions des racines 5emes de l'unités.
2.A l'aide de ces racines 5iemes de l'unité, determiner les racines du polynome P.verifier qu'elles sont toutes reelles

donc la question 1 ne pose pas de probleme je trouve comme expressions:
pour k=0 z5=1, pour k=1 z5= exp(2ipi/5) , k=2 z5 exp(4ipi/5), k=3 z5 exp(6ipi/5), k=4 z5 exp(8ipi/5)

mais pour la question 2 je vois pas ce qu'il faut faire...j'ai essayer en disant que (z+i)^5=(z-i)^5 donc ((z+i)/z-i))^5=1
donc z-i/z+i=exp(2kipi/5) mais je ne progresse pas par cette méthode...
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[invitec317278e]

C'est dommage, tu avais presque fini...
si on a , d'inconnue , alors
, et ceci est une simple équation du premier degré pour trouver x.

[inviteb086628f]

ben justement^^ j'ia fait comme ça mais du coup pour k=0 on a pas de solution vu que ça donne z-1=z+1
pour k=1 ça donne z=(cos pi/5)/(sin pi/5)
et donc le k=0 pose probleme...

[invitec317278e]

Je te suggère de regarder attentivement le degré de ton polynôme, pour voir combien de racines il a

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb086628f]

ben il est de degré 5 donc 5 racines... si pour k=0 ya pas de solutions ben yaura que 4 racines -_-''
non?

[invite57a1e779]

il est de degré 5

Elle est bien bonne celle-là !!!

[inviteb086628f]

bon si ya une ame charitable...
la question 3 est verifier que le polynome P peut s'écrire sous la formeP(X)= aX^4+bX²+c avec a, b et c des reels que l'on calculera

quand je develope mon P(X)=1/2i((X+i)^5-(X-i)^5)

j'ai bien les X^5 et les X qui se barrent mais les X² s"annule et les X^3 restent...j'ai recomencé le calcul plusieurs fois mais je retombe toujours sur la meme chose....
(X-i)^5=-i+5X-10X²i+10X^3-5X^4i+X^5
(X+i)^5=i+5X-10X²i-10X^3+5X^4i+X^5

[invite57a1e779]

j'ai bien les X^5 ... qui se barrent

Donc le polynôme n'est pas de degré 5... et il n'a pas 5 racines.
Au passage tu devrais recalculer tes termes en et en .

[inviteb086628f]

excuse de mettre enervé^^ mais ça fait assez longtemps que j'y suis dessus et la façon dont tu m'a repondu m'a véxé^^
ouai j'ia vu que c'était de degrés 4...
ben normalement pour les termes en x²et x^3 les signes devraient etre l'inverses mais quand j'applique la formule je tombe sur ça...

[invite57a1e779]

.
Les termes de degré impair vont se simplifier dans la différence, pas les termes de degré pair.
Reste à calculer les .

[inviteb086628f]

a ok j'avais pas fait attention au fait que (-i)²=(i)²...le boulet...
merci

[invite63f1ae8f]

Bonjour à tous

Je bloque à la question 2)

J'arrive à ça : (z-i)/(z+i)=exp(i2kpi/5)

Je me suis surement trompé, car je ne vois pas ce qu'il faut faire après.
Pouvez-vous m'aider ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

J'arrive à ça : (z-i)/(z+i) = exp(i2kpi/5)

Tu écris , équation du premier degré facile à résoudre.

[invite63f1ae8f]

Bonjour,



Tu écris , équation du premier degré facile à résoudre.

merci beaucoup, je vais essayer

[invite63f1ae8f]

je trouve un résultat bizarre :

i= z(1-exp(2kipi/5))/(1+exp(2kpi/5))

[invite57a1e779]

On ne chercha pas à calculer i, mais z...

[invite63f1ae8f]

On ne chercha pas à calculer i, mais z...

Ah d'accord !

dans ce cas je trouve : z= i(1+exp(2kpi/5))/(1-exp(2kpi/5)

cela semble cohérent ? je ne vois pas où ça nous mène...

[invite57a1e779]

Deux choses :
— il faut que le dénominateur soit non nul dans l'expression que tu écris ;
— tu pourrais simplifier la forme en mettant en facteur au numérateur et au dénominateur.

[invite63f1ae8f]

Deux choses :
— il faut que le dénominateur soit non nul dans l'expression que tu écris ;
— tu pourrais simplifier la forme en mettant en facteur au numérateur et au dénominateur.

Pour le dénominateur, il n'est pas nul ? ;
et en simplifiant par l'exponentielle, j'obtiens le même résultat que précédemment.